Завдання 9

На якому з наведених рисунків зображено ескіз графіка функції $$y=-\frac{1}{x}$$?

Рішення

$$y=\frac{k}{x}$$ – гіпербола. При $$k>0$$ гілки розташовані в першій і третій чвертях, а при $$k<0$$ – у другій і четвертій чвертях. У нашому випадку $$k=-1$$.

Відповідь: В.

Завдання 10

Прямокутний трикутник із катетами 9 см і 12 см обертається навколо більшого катета (див. рисунок).

Визначте площу повної поверхні отриманого тіла обертання.

АБВГД
$$324\pi$$ см2$$216\pi$$ см2$$180\pi$$ см2$$135\pi$$ см2$$81\pi$$ см2

Рішення

У результаті обертання трикутника отримали конус. Площа повної поверхні конуса $$S$$ складається з площі бічної поверхні конуса $$S_{1}$$ та площі круга $$S_{2}$$.

$$S_{1}=\pi R l,$$ $$S_2=\pi R^2,$$ де $$R$$ – радіус основи, $$l$$ – твірна конуса.

$$R=9,\;l=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$$ (за теоремою Піфагора).

$$S=\pi\cdot9\cdot15+\pi\cdot9^2=(135+81)\pi=216\pi$$.

Відповідь: Б.

Завдання 11

У магазині побутової техніки діє акція: на першу велику покупку (вартість перевищує 1000 грн) надається знижка 30 грн, на кожну наступну велику покупку попередня знижка збільшується на 25 грн. На яку за рахунком велику покупку отримає в цьому магазині покупець знижку 180 грн?

АБВГД
четвертуп’ятушостусьомувосьму

Рішення

Задача на арифметичну прогресію.

Перший член прогресії $$a_1=30$$, різниця прогресії $$d=25$$, $$n$$-й член $$a_n=180$$.

Знайдемо кількість $$n$$.

$$a_n=a_1+d(n-1)\Rightarrow n=\frac{a_n-a_1}{d}+1$$

$$n=\frac{180-30}{25}+1=7$$

Відповідь: Г.

Завдання 12

На рисунку зображено рівнобічну трапецію, бічна сторона якої дорівнює $$2\sqrt{3}$$, а більша основа – $$8$$. Визначте довжину діагоналі цієї трапеції, якщо її гострий кут дорівнює $$30^{\circ}$$.

АБВГД
$$\sqrt{52}$$$$\sqrt{76-16\sqrt{3}}$$$$\sqrt{76+16\sqrt{3}}$$$$\sqrt{28}$$$$\sqrt{124}$$

Рішення

Опустимо перпендикуляр $$BK$$ на більшу основу. Отримали два прямокутні трикутники $$AKB$$ та $$DKB$$. З трикутника $$AKB$$, використовуючи визначення тригонометричних функцій і значення синуса та косинуса при $$30^{\circ}$$, знайдемо $$AK=AB\cos30^{\circ}=2\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3$$ та $$BK=AB\sin30^{\circ}=2\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}=\sqrt{3}$$.

$$DK=AD-AK=8-3=5$$.

За теоремою Піфагора з трикутника $$DKB$$ знайдемо гіпотенузу:

$$BD=\sqrt{BK^2+DK^2}=\sqrt{3+25}=\sqrt{28}$$

Відповідь: Г.