Завдання 11

У залі кінотеатру 18 рядів. У першому ряду знаходяться 7 місць, а в кожному наступному ряду на 2 місця більше, ніж у попередньому. Скільки всього місць у залі?

АБВГД
369432438450864

Рішення

Задача на арифметичну прогресію. Нам знадобиться наступна формула для обчислення суми 18-перших членів арифметичної прогресії:

$$S_{n}=\frac{2\cdot a_1+d\cdot (n-1)}{2}\cdot n$$

У нашому випадку $$a_1=7, d=2, n=18$$

$$s_{18}=\frac{2\cdot 7+2\cdot 17}{2}\cdot{18}=24\cdot 18=432$$

Відповідь: Б.

Завдання 12

Прямокутник зі сторонами 8 см і 10 см обертається навколо меншої сторони (див. рисунок).

Знайдіть площу повної поверхні отриманого тіла обертання.

АБВГД
$$800\pi$$ см2$$360\pi$$ см2$$288\pi$$ см2$$260\pi$$ см2$$160\pi$$ см2

Рішення

При обертанні прямокутника навколо його сторони отримуємо циліндр. Повна площа отриманої фігури складатиметься із суми трьох площ:

$$S=S_{1}+2\cdot S_{2}$$

$$S_1$$ – площа бічної поверхні циліндра, $$S_2$$ – площа кола (основа циліндра)

$$S_{1}=2\pi RH, S_{2}=\pi R^2$$

$$S_{1}=2\pi RH, S_{2}=\pi R^2, R=10, H=8\Rightarrow$$

$$\Rightarrow S=2\pi \cdot10\cdot 8+2 \pi \cdot 10^2=360\pi$$

Відповідь: Б.

Завдання 13

Якому проміжку належить значення виразу $$\sin 410^{\circ}?$$

АБВГД
$$(-1;-\frac{1}{2})$$$$(-\frac{1}{2};\frac{1}{2})$$$$(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})$$$$(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$$$$(\frac{\sqrt{3}}{2};1)$$

Рішення

$$\sin 410^{\circ}=\sin(360^{\circ}+50^{\circ})=\sin 50^{\circ}$$

$$45^{\circ}<50^{\circ}<60^{\circ}, \sin 45^{\circ}= \frac{\sqrt{2}}{2},\sin 60^{\circ}= \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \sin 45^{\circ}\in \left ( \frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2} \right )$$

Оскільки на проміжку від $$0^{\circ}$$ до $$90^{\circ}$$ функція $$\sin x$$ зростає.

Відповідь: Г.

Завдання 14

З міст А і В, відстань між якими по шосе становить 340 км, одночасно назустріч один одному виїхали автобус і маршрутне таксі зі сталими швидкостями 65 км/год відповідно. Автобус і маршрутне таксі рухаються без зупинок і ще не зустрілися. За якою формулою можна обчислити відстань $$S$$ (у км) між автобусом і маршрутним таксі по шосе через $$t$$ годин після початку руху?

АБВГД
$$S=340-145t$$$$S=340-15t$$$$S=15t-340$$$$S=145t-340$$$$S=340+145t$$

Рішення

Через $$t$$ годин після початку руху автобус і маршрутне таксі проїдуть відстань, що дорівнює $$65t$$ км й $$80t$$ км відповідно, а разом $$145t$$ км. Оскільки загальна відстань $$S$$ дорівнює 340 км, то відстань між автобусом і маршрутним таксі через $$t$$ годин після початку руху можна обчислити за формулою: $$S=340-145t$$

Відповідь: А.

Завдання 15

Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см, а її апофема – 5 см. Визначте косинус кута між площиною бічної грані піраміди й площиною основи.

АБВГД
$$\frac{3}{5}$$$$\frac{1}{5}$$$$\frac{3}{4}$$$$\frac{4}{5}$$$$\frac{4}{3}$$

Рішення

Уведемо такі позначення: $$H$$ – висота правильної чотирикутної піраміди, $$h$$ – висота бічної грані (апофема) правильної чотирикутної піраміди, $$\alpha$$ – кут між площиною бічної поверхні піраміди та площиною основи. Розглянемо трикутник (див. рисунок)

З визначення тригонометричних функцій знаходимо

$$\sin\alpha =\frac{H}{h}=\frac{4}{5},$$

тоді з основної тригонометричної тотожності знаходимо

$$\cos \alpha=\sqrt{1-\sin^2{\alpha}}= \sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$$

Відповідь: А.

Завдання 16

На рисунку зображено паралелограм ABCD, площа якого дорівнює 60 см2. Точка М належить стороні BC. Визначте площу фігури, що складається з двох зафарбованих трикутників.

АБВГД
20 см245 см235 см240 см230 см2

Рішення

Від точки M до сторони AD $$(a)$$ опускаємо перпендикуляр $$h_a,$$ який є висотою трикутника AMD і паралелограма ABCD. Скористаємося формулами знаходження площ трикутника $$S_1$$ і паралелограма $$S_2$$ через висоту.

$$S_{1}=a\cdot h_{a}, S_{2}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_{a}$$

$$S_{2}=60\Rightarrow S_{1}=30$$

Отже, площа фігури, що складається із зафарбованих трикутників дорівнює:

$$S_{3}=S_{2}-S_{1}=30$$

Відповідь: Д.

Завдання 17

Розв’яжіть нерівність $$(\frac{\pi}{4})^x<(\frac{4}{\pi})^3$$

АБВГД
$$(-3;\infty)$$$$(3;\infty)$$$$(-\infty;3)$$$$(-\infty;-3)$$$$(-\infty;\frac{1}{3})$$

Рішення

Перейдемо до основи $$\frac{\pi}{4}$$

$$(\frac{\pi}{4})^x<(\frac{\pi}{4})^{-3}$$

Оскільки $$\frac{\pi}{4}$$ більше нуля і менше одиниці, то знак нерівності зміниться на протилежний під час переходу до виразів, що стоять у ступенях, тобто отримаємо $$x>-3.$$

Відповідь: А.

Завдання 18

У прямокутнику ABCD: BC=80, AC=100. Через точки М і K, що належать сторонам AB і ВС відповідно, проведено пряму, паралельну АС. Знайдіть довжину більшої сторони трикутника МВК, якщо ВК=20.

АБВГД
6050302515

Рішення

$$AC$$ – діагональ прямокутника

$$MK \parallel AC$$

$$\triangle MBK\sim \triangle ABC\Rightarrow \frac{MK}{AC}=\frac{BK}{BC}$$

$$MK=\frac{BK\cdot AC}{BC}=\frac{20\cdot 100}{80}=25$$

Відповідь: Г.

Завдання 19

Укажіть множину всіх значень $$a,$$ при яких виконується рівність $$|a^3-a^2|=a^3-a^2.$$

АБВГД
$$(-\infty;-1]\cup [1;\infty)$$$$[1;\infty)$$$$(-\infty;-1]\cup \left \{ 0 \right \}$$$$[0;1]$$$$\left \{ 0 \right \}\cup [1;\infty)$$

Рішення

$$a^3-a^2\geqslant 0\Rightarrow a^2\cdot (a-1)\geqslant 0\Rightarrow a=0, a\geqslant 1$$

Відповідь: Д.

Завдання 20

Функція $$f(x)$$ має в точці $$x_0$$ похідну $$f^{\prime}(x_{0})=-4.$$ Визначте значення похідної функції $$g(x)=2\cdot f(x)+7x-3$$ в точці $$x_0.$$

АБВГД
1512-1-4-8

Рішення

$$g^{\prime}(x)=2\cdot f^{\prime}(x)+7$$

$$g^{\prime}(x_{0})=2\cdot f^{\prime}(x_{0})+7=2\cdot (-4)+7=-1$$

Відповідь: В.