Завдання 31

Знайдіть кількість усіх цілих розв’язків нерівності $$\log_{\frac{1}{4}}(x^2+6x)\geqslant -2.$$
Якщо нерівність має безліч цілих розв’язків, то у відповідь запишіть число 100.

Рішення

Спочатку знайдемо область допустимих значень

ОДЗ: $$x^2+6x>0\Rightarrow x(x+6)>0$$

$$x\in(-\infty;-6)\cup (0; \infty)$$

Тепер почнемо розв’язання вихідної нерівності

$$\log_{\frac{1}{4}}(x^2+6x)\geqslant -2\log_{\frac{1}{4}}\frac{1}{4}\Rightarrow \log_{\frac{1}{4}}(x^2+6x)\geqslant \log_{\frac{1}{4}}16$$

опустимо логарифми, змінивши знак нерівності на протилежний, оскільки основа логарифма $$0<\frac{1}{4}<1$$

$$x^2+6x\leqslant 16\Rightarrow x^2+6x-16\leqslant 0$$

Знайдемо корені рівняння $$x^2+6x-16=0$$ за теоремою Вієта:

$$x_{1}+x_{2}=-6, x_{1}\cdot x_{2}=-16\Rightarrow x_{1}=-8, x_{2}=2$$

Отримали нерівність: $$(x+8)(x-2)\leqslant 0$$

$$x\in[-8; 2]$$

З урахуванням ОДЗ, отримали:

$$x\in[-8;-6)\cup (0; 2]$$

Цілими рішеннями є: $$-8; -7; 1; 2$$ (4 корені)

Відповідь: 4.

Завдання 32

Обчисліть інтеграл $$\int_{-2}^{1}\left ( x^2-4x \right )dx.$$

Рішення

$$\int_{-2}^{1}\left ( x^2-4x \right )dx=\left ( \frac{x^3}{3}-2x^2 \right )|_{-2}^{1}=\frac{1}{3}+\frac{8}{3}-2+8=9$$

Відповідь: 9.

Завдання 33

Дві окружності дотикаються, причому менша з окружностей проходить через центр більшої окружності (див. рисунок). Знайдіть площу зафарбованої фігури (у см2), якщо менша з окружностей обмежує коло площею 64 см2.

Рішення

Нехай $$S$$ – площа зафарбованої фігури, $$S_1$$ – площа малої окружності, $$S_2$$ – великої окружності. $$S=S_{2}-S_{1}, S_{1}=\pi r^2, S_{2}=\pi R^2$$

$$S_{1}=64\Rightarrow \pi r^2=64\Rightarrow r^2=\frac{64}{\pi}$$

$$R=2r\Rightarrow R^2=4r^2\Rightarrow R^2=\frac{4\cdot64}{\pi}$$

$$S_{2}=\pi R^2=\pi\cdot\frac{4\cdot64}{\pi}=256$$

$$S=S_{2}-S_{1}=256-64=192$$

Відповідь: 192.

Завдання 34

Розв’яжіть рівняння $$\left | \left | 2x-1 \right |-3 \right |=5.$$ Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має більше одного кореня, то у відповідь запишіть добуток усіх коренів.

Рішення

Внутрішній модуль зануляється при $$x=\frac{1}{2}.$$ Маємо два випадки:

I. $$x<\frac{1}{2}$$

Розкриємо внутрішній модуль і отримаємо:

$$\left | -2x+1-3 \right |=5\Rightarrow \left | -2x-2 \right |=5\Rightarrow \left | 2x+2 \right |=5$$

Одержаний модуль зануляється при $$x=-1.$$ Розкриємо його при:

1) $$x\in (-\infty;-1)$$

$$-2x-2=5\Rightarrow x=-3.5\in (-\infty;-1)$$ – корінь

2) $$2x+2=5\Rightarrow x=1.5\notin [-1; \frac{1}{2})$$ – не корінь

II. $$x\geqslant \frac{1}{2}.$$ Розкриємо внутрішній модуль і отримаємо:

$$\left | 2x-1-3 \right |=5\Rightarrow \left | 2x-4 \right |=5$$

Одержаний модуль зануляється при $$x=2.$$ Розкриємо його при:

1) $$x\in(\frac{1}{2}; 2)$$

$$-2x+4=5\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\notin(\frac{1}{2}; 2)$$ – не корінь

2) $$x\in[2;\infty)$$

$$2x-4=5\Rightarrow x=4.5\in[2;\infty)$$ – корінь

Отже, отримали два корені, перемножимо їх:

$$-3.5\cdot4.5=-15.75$$

Відповідь: $$-15.75.$$

Завдання 35

Основою піраміди є ромб, гострий кут якого дорівнює $$30^{\circ}.$$ Усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під кутом $$60^{\circ}.$$ Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см2), якщо радіус кола, вписаного в її основу, дорівнює 3 см.

Рішення

Пригадаємо такі властивості піраміди:

Якщо бічні грані нахилені до площини основи під одним кутом, то:

  • в основу піраміди можна вписати окружність, причому вершина піраміди проєктується в її центр;
  • висоти бічних граней рівні;
  • площа бічної поверхні дорівнює половині добутку периметра основи на висоту бічної грані.

$$SABCD$$ – чотирикутна піраміда, $$ABCD$$ – ромб, $$\alpha=\angle BAD=30^{\circ},$$ $$\beta =\angle OES=60^{\circ},$$ $$r=3$$ (Дякую Viktor Zadvorski за вказівку на помилку в рішенні: $$r\neq OE)$$

Площу бічної поверхні нашої піраміди можна знайти за формулою: $$S=\frac{1}{2}Ph,$$ де $$P$$ – периметр основи (ромба), $$h=SE$$ – висота бічної грані.

$$P=4a$$ ($$a$$ сторона ромба). Пригадаємо формули обчислення площі ромба:

$$S_{1}=a^2\cdot\sin\alpha$$ й $$S_{1}=\frac{4r^2}{\sin\alpha}$$

$$a^2\sin\alpha=\frac{4r^2}{\sin\alpha}\Rightarrow a^2=\frac{4r^2}{\sin^2\alpha}\Rightarrow a=\frac{2r}{\sin\alpha}\Rightarrow P=\frac{8r}{\sin\alpha}$$

$$OE$$ є середньою лінією трикутника $$ACD (AO=OC, DE=EC),$$ значить

$$OE=\frac{1}{2}AD=\frac{a}{2}=\frac{r}{\sin\alpha}$$

З прямокутного трикутника $$SOE:$$

$$h=SE=\frac{OE}{\cos\beta}=\frac{r}{\sin\alpha\cdot\cos\beta}$$

Значить площа бічної поверхні:

$$S=\frac{1}{2}Ph=\frac{1}{2}\cdot\frac{8r}{\sin\alpha}\cdot\frac{r}{\sin\alpha\cdot\cos\beta}=\frac{8r^2}{2\sin^2\alpha\cos\beta}$$

$$S=\frac{8\cdot3^2}{2\cdot(\sin30^{\circ})^2\cdot\cos60^{\circ}}=\frac{72}{2\cdot(\frac{1}{2})^2\cdot\frac{1}{2}}=72\cdot4=288$$

Відповідь: 288.

Завдання 36

Розв’яжіть систему $$\left\{\begin{matrix} 5\cos\frac{\pi y}{2}=x^2-8x+21, \\ y+5x-4=0. \end{matrix}\right.$$

Якщо система має єдиний розв’язок $$(x_{0};y_{0}),$$ то у відповідь запишіть суму $$x_{0}+y_{0};$$ якщо система має більше, ніж один розв’язок, то у відповідь запишіть кількість усіх розв’язків.

Рішення

ОДЗ:

$$\left | \cos\alpha \right |\leqslant 1\Rightarrow \left | \frac{x^2-8x+21}{5} \right |\leqslant 1$$

Розв’яжемо цю нерівність:

$$\left\{\begin{matrix} \frac{x^2-8x+21}{5}\leqslant 1\\ \frac{x^2-8x+21}{5}\geqslant -1 \end{matrix}\right.$$ $$\sim$$ $$\left\{\begin{matrix} x^2-8x+21\leqslant 5\\ x^2-8x+21\geqslant -5 \end{matrix}\right.$$ $$\sim$$

$$\sim$$ $$\left\{\begin{matrix} x^2-8x+16\leqslant 0\\ x^2-8x+26\geqslant 0 \end{matrix}\right.$$

Розглянемо окремо кожну з нерівностей:

1) $$x^2-8x+16\leqslant 0$$ або $$(x-4)^2\leqslant 0$$

Но $$(x-4)^2\geqslant 0$$ $$\Rightarrow (x-4)^2= 0\Rightarrow x=4$$

2) $$x^2-8x+26\geqslant 0$$

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння $$x^2-8x+26= 0$$ для парного $$b:$$

$$D_{1}=b_{1}^2-a\cdot c$$

$$a=1, b_{1}=\frac{b}{2}=-4, c=26$$

$$D_{1}=16-26<0$$ – немає дійсних коренів.

Значить квадратний тричлен $$x^2-8x+26$$ завжди позитивний, тому що $$a=1>0,$$ т.е. $$\forall x\in\mathbb{R}:x^2-8x+26>0$$

Отримали систему:

$$\left\{\begin{matrix} x=4\\ x\in(-\infty; \infty) \end{matrix}\right.$$

Розв’язком системи є $$x=4$$

Отже, ОДЗ: $$x=4$$

Із другого рівняння початкової системи виразимо $$y$$ і підставимо $$x=x_{0}=4$$

$$y=4-5x\Rightarrow y_{0}=4-5\cdot4=-16$$

Отримали єдиний розв’язок системи $$(x_{0};y_{0})$$

$$x_{0}+y_{0}=4+(-16)=-12$$

Відповідь: $$-12.$$