ЗНО 2011 з математики [завдання 15-21]. Розв’язок

Завдання 15

Обчисліть площу чотирикутника $$ABCD$$ (див. рисунок), сторони якого паралельні вісі $$Oy.$$

АБВГД
105 3 6 7

Рішення

$$ABCD$$ – паралелограм. $$AB=CD=2, CE=3$$ – висота.

$$S=AB\cdot CE=2\cdot 3=6$$

Відповідь: Г.

Завдання 16

Якому з наведених нижче проміжків належить корінь рівняння $$5^{x+2}=\left (\frac{1}{125} \right )^x?$$

АБВГД
$$(-3;-2]$$$$(-2;-1]$$$$(-1;0]$$$$(0;1]$$$$(1;3]$$

Рішення

$$5^{x+2}=\left (\frac{1}{5^3} \right )^x\Rightarrow 5^{x+2}=5^{-3x}\Rightarrow x+2=-3x\Rightarrow x=-\frac{1}{2} \in (-1;0]$$

Відповідь: В.

Завдання 17

На рисунку зображено коло з центром у точці $$O$$ і рівносторонній трикутник $$AOB,$$ що перетинає коло в точках $$M$$ і $$N$$. Точка $$D$$ належить колу. Знайдіть градусну міру кута $$MDN$$.

АБВГД
$$15^{\circ}$$$$30^{\circ}$$$$45^{\circ}$$$$60^{\circ}$$$$120^{\circ}$$

Рішення

Трикутник $$AOB$$ рівносторонній, значить кути $$AOB, OBA$$ й $$BAO$$ рівні по $$60^{\circ}.$$ Кут $$AOB$$ – центральний кут, що спирається на дугу $$MN$$. Шуканий кут $$MDN$$ – вписаний кут, що спирається на ту саму дугу MN.

Вписаний кут дорівнює половині центрального кута, що спирається на ту саму дугу.
Значить кут $$MDN$$ дорівнює $$30^{\circ}.$$

Відповідь: Б.

Завдання 18

Функція $$y=f(x)$$ є спадною на проміжку $$\left (-\infty;\infty \right ).$$ Укажіть правильну нерівність.

АБВГД
$$f(1)>f(-1)$$$$f(1) < f(8)$$$$f(1)>f(0)$$$$f(-1) < f(0)$$$$f(1)>f(10)$$

Рішення

Скористаємося визначенням функції, що спадає.

$$y=f(x)$$ спадає, якщо $$f(x_{1})>f(x_{2})$$ при $$x_1 < x_{2}.$$

Цій умові задовольняє $$f(1)>f(10).$$

Відповідь: Д.

Завдання 19

У прямокутник ABCD вписано три круги одного й того самого радіуса (див. рисунок). Визначте довжину сторони BC, якщо загальна площа кругів дорівнює $$3\pi.$$

АБВГД
236918

Рішення

$$S_{kp}=\pi R^2$$

$$S=3\pi =3S_{kp}=3\pi R^2\Rightarrow 3\pi=3\pi R^2\Rightarrow R=1$$

$$BC=6R=6$$

Відповідь: В.

Завдання 20

О шостій годині ранку визначено температуру на десяти метеостанціях. Отримані дані відображено в таблиці.

Температура в градусах134x
Кількість метеостанцій2341

Визначте $$x$$, якщо середнє арифметичне всіх цих даних дорівнює $$3.5^{\circ}.$$

АБВГД
$$x=5$$$$x=6$$$$x=7$$$$x=8$$$$x=9$$

Рішення

$$\frac{2\cdot1^{\circ}+3\cdot3^{\circ}+4\cdot4^{\circ}+1\cdot x^{\circ}}{2+3+4+1}=\frac{27^{\circ}+x^{\circ}}{10}=3.5^{\circ}$$

$$27^{\circ}+x^{\circ}=35^{\circ}\Rightarrow x^{\circ}=8^{\circ}$$

Відповідь: Г.

Завдання 21

У трикутнику ABC: AB=31 см, BC=15 см, AC=26 см. Пряма а, паралельна стороні АВ, перетинає ВС і АС у точках M і N відповідно. Обчисліть периметр трикутника MNC, якщо MC=5 см.

АБВГД
15 см24 см48 см21 см26 см

Рішення

$$\triangle ABC\sim \triangle NMC$$ (за трьома кутами)

$$\frac{MC}{BC}=\frac{NC}{AC}=\frac{MN}{BA}$$

$$NC=\frac{MC\cdot AC}{BC}=\frac{5\cdot 26}{15}=\frac{26}{3}, MN=\frac{BA\cdot MC}{BC}=\frac{31\cdot 5}{15}=\frac{31}{3}$$

$$P=MC+CN+MN=5+\frac{26}{3}+\frac{31}{3}=\frac{15+26+31}{3}=\frac{72}{3}=24$$

Відповідь: Б.