Завдання 31

Діагональ рівнобокої трапеції є бісектрисою її гострого кута і ділить середню лінію трапеції на відрізки завдовжки 15 см і 33 см. Обчислити (у см2) площу трапеції.

Рішення

Нехай $$ABCD$$ – трапеція, $$AC$$ – діагональ трапеції і бісектриса гострого кута $$\angle A$$, тобто $$\angle BAC=\angle CAD$$. $$EF$$ – середня лінія трапеції. $$EO=15$$ см, $$OF=33$$ см ($$AC$$ перетинає $$EF$$ в точці $$O$$). Опустимо висоти на $$AD$$ з $$B$$ і $$C$$ ($$BM\perp AD$$, $$CK\perp AD$$).

$$S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BM=EF\cdot BM$$

$$EF=EO+OF=15+33=48$$ см

Розглянемо трикутники $$\triangle ABC$$ й $$\triangle ACD$$ для яких $$EO$$ і $$OF$$ є відповідно середніми лініями. Отже $$BC=2\cdot EO=30$$ см, $$AD=2\cdot OF=66$$ см.

$$\angle CAD=\angle BCA$$ як внутрішні навхрест лежачі при паралельних прямих $$BC\parallel AD$$ і січної $$AC$$, але за умовою $$\angle CAD = \angle BAC$$, отже $$\angle BCA = \angle BAC$$ і трикутник $$\triangle ABC$$ рівнобедрений, тобто $$AB=BC=30$$ см.

Розглянемо $$\triangle ABM$$: $$\angle M=90^{\circ}$$, $$AB=30$$ см, $$AM=\frac{AD-BC}{2}=\frac{66-30}{2}=18$$ см. За теоремою Піфагора знаходимо $$BM=\sqrt{AB^2-AM^2}=\sqrt{900-324}=\sqrt{576}=24$$ см.

Тоді площа трапеції дорівнює $$S_{ABCD}=48\cdot24=1152$$ см2.

Відповідь: 1152

Завдання 32

На рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції $$f(x)=ax^2+\frac{2b}{3}x+5$$. Площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями $$y=f(x)$$, $$y=0$$, $$x=0$$, $$x=1$$, дорівнює 19 кв. од. Обчислити суму $$a+b$$.

Рішення

Пропонуємо повторити матеріали з теми: формули знаходження основних інтегралів, властивості визначеного інтеграла

$$S = \int_0^1(ax^2+\frac{2b}{3}x+5)dx = (a\cdot\frac{x^3}{3}+\frac{2b}{3}\cdot \frac{x^2}{2}+5x)|_0^1=\frac{a}{3}+\frac{b}{3}+5$$ кв. од.

З умови $$S=19$$, значить $$\frac{a}{3}+\frac{b}{3}+5=19$$

$$\frac{a}{3}+\frac{b}{3}=14$$

$$a+b=14\cdot3$$

$$a+b=42$$ кв. од.

Відповідь: 42

Завдання 33

Через точки $$A$$ й $$B$$, що лежать на колах верхньої та нижньої основ циліндра і не належать одній твірній, проведено площину паралельно осі циліндра. Відстань від центра нижньої основи до цієї площини дорівнює $$\sqrt{10}$$ см, а площа отриманого перерізу – $$54\sqrt{10}$$ см2. Визначити довжину відрізка $$AB$$ (у см), якщо площа бічної поверхні циліндра дорівнює $$180\pi$$ см2.

Рішення

Розглянемо рисунок. $$A$$ належить нижній основі циліндра, $$B$$ – верхній. Прямокутник $$ADBC$$ – переріз циліндра площиною, паралельною до осі циліндра $$OO_{1}$$. $$OE=\sqrt{10}$$ см – відстань від центру нижньої основи до площини перерізу. Площа перерізу $$S_{ADBC}=54\sqrt{10}$$ см2. Площа бічної поверхні циліндра $$S_{\text{бічн. цил.}}=180\pi$$ см2. $$AB$$ – діагональ прямокутника $$ADBC$$.

Площу бічної поверхні циліндра можна знайти за формулою $$S_{\text{бічн. цил.}}= 2\pi R H$$, де $$R$$ – радіус основи циліндра, $$H$$ – висота циліндра. Значить $$2\pi R H=180\pi$$ або $$RH=90$$.

Отримали $$H=\frac{90}{R}$$.

Оскільки площа перерізу є площею прямокутника, то $$S_{ADBC}=AD\cdot BD$$, де $$AD=H$$ є і висотою циліндра. Тобто $$H\cdot BD=54\sqrt{10}$$.

Підставимо $$H$$, виразимо $$BD$$ і отримаємо $$BD=\frac{54\sqrt{10}\cdot R}{90}$$.

Або $$BD=\frac{3\sqrt{10}}{5}R$$.

Розглянемо трикутник $$\triangle BEO$$: $$\angle E=90^{\circ}$$, $$OE=\sqrt{10}$$, $$BE=\frac{1}{2}BD$$, $$OB=R$$ – радіус основи циліндра. За теоремою Піфагора $$OB^2=OE^2+BE^2$$ або $$R^2=10+\frac{1}{4}BD^2$$.

Підставимо $$BD$$ і отримаємо $$R^2=10+\frac{1}{4}\cdot (\frac{3\sqrt{10}}{5}R)^2$$.

$$R^2=10+ \frac{90}{100}R^2$$

$$0.1R^2=10$$

$$R^2=100$$

$$R=10$$ см

Тоді $$BD=6\sqrt{10}$$ см й $$H=9$$ см.

Розглянемо прямокутний трикутник $$\triangle ADB$$. За теоремою Піфагора $$AB^2=AD^2+BD^2$$.

$$AB=\sqrt{9^2+(6\sqrt{10})^2}=\sqrt{81+360}=\sqrt{441}=21$$ см.

Відповідь: 21

Завдання 34

Знайдіть усі негативні значення параметра $$a$$, за яких система рівнянь $$\left\{\begin{matrix}2\sqrt{y^2-4y+4}+3|x|=17-y \\ 25x^2-20ax=y^2-4a^2\end{matrix}\right.$$ має єдиний розв’язок. Якщо таке значення одне, у відповідь записати його. Якщо таких значень кілька, то у відповідь записати їхню суму.

Рішення

Перетворимо рівняння системи.

1) $$2\sqrt{(y-2)^2}+3|x|=17-y$$

$$2|y-2|+3|x|=17-y$$

Ліва частина невід’ємна, отже, і права частина має бути невід’ємною, тобто отримали $$17-y\geqslant 0$$ або $$y \leqslant 17$$.

$$|y-2|=-y+2$$ при $$y\in(-\infty; 2)$$ й $$|y-2|=y-2$$ при $$y\in[2;17]$$

$$|x|=-x$$ при $$x\in(-\infty;0)$$ й $$|x|=x$$ при $$x\in[0;\infty)$$

Отримали 4 випадки:

1а) $$-2y+4-3x=17-y$$ при $$y\in(-\infty; 2)$$ й $$x\in(-\infty;0)$$

$$y=-3x-13$$ при $$y\in(-\infty; 2)$$ й $$x\in(-\infty;0)$$

1б) $$-2y+4+3x=17-y$$ при $$y\in(-\infty; 2)$$ й $$x\in[0;\infty)$$

$$y=3x-13$$ при $$y\in(-\infty; 2)$$ й $$x\in[0;\infty)$$

1в) $$2y-4-3x=17-y$$ при $$y\in[2;17]$$ й $$x\in(-\infty;0)$$

$$3y=3x+21$$ при $$y\in[2;17]$$ й $$x\in(-\infty;0)$$

$$y=x+7$$ при $$y\in[2;17]$$ й $$x\in(-\infty;0)$$

1г) $$2y-4+3x=17-y$$ при $$y\in[2;17]$$ й $$x\in[0;\infty)$$

$$y=-x+7$$ при $$y\in[2;17]$$ й $$x\in[0;\infty)$$

Побудуємо графік для першого рівняння системи з урахуванням цих випадків

2) $$25x^2-20ax+4a^2=y^2$$

$$(5x-2a)^2=y^2$$

$$y^2-(5x-2a)^2=0$$

$$(y-5x+2a)(y+5x-2a)=0$$

$$y=5x-2a$$ або $$y=-5x+2a$$ – дві прямі (червона та помаранчева відповідно, див. рисунок), що перетинаються

Далі треба використовувати графічний метод.

Очевидно, що система буде мати єдиний розв’язок, коли ці прямі будуть перетинати графік першого рівняння лише в 1 точці. Оскільки параметр $$a$$ повинен бути негативним, то це точка $$(-5; 2)$$.

Знайдемо параметр $$a$$ підставленням координат точки у рівняння $$y=5x-2a$$ (червона пряма)

$$2=5\cdot(-5)-2a$$

$$2a = -27$$

$$a = -13.5$$

Відповідь: $$-13.5$$