Завдання 21

Для кожного виразу вкажіть тотожно рівний йому, якщо $$m>2,$$ $$m$$ – натуральне число.

1. $$(m+1)^2-m^2-1$$
2. $$m\cos^2\alpha+m\sin^2\alpha$$
3. $$100^{\lg m}$$
4. $$\log_{2}{\sqrt[m]{2}}$$

А. $$\log_{2}m$$
Б. $$m$$
В. $$2m$$
Г. $$m^2$$
Д. $$\frac{1}{m}$$

Рішення

1. Використовуючи формулу квадрата суми, отримаємо:

$$(m+1)^2-m^2-1 = m^2 + 2m + 1$$ $$- m^2-1 = 2m$$

Відповідь В.

2. Використовуючи основну тригонометричну тотожність, отримаємо:

$$m\cos^2\alpha + m\sin^2\alpha = m(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = m\cdot1=m$$

Відповідь Б.

3. Використовуючи властивості степенів і логарифмів, отримаємо:

$$100^{\lg m} = (10\cdot10)^{\lg m} = 10^{\lg m}\cdot10^{\lg m} = m\cdot m=m^2$$

Відповідь Г.

4. Використовуючи властивості коренів і логарифмів, отримаємо:

$$\log_2\sqrt[m]{2} = \frac{1}{m}\log_2{2} = \frac{1}{m}$$

Відповідь Д.

Завдання 22

Установити відповідність між функцією та кількістю спільних точок графіка цієї функції з графіком функції $$y=\frac{x}{5}.$$

Функція

1. $$y=x+5$$
2. $$y=5^x$$
3. $$y=\sqrt{x}$$
4. $$y=\sin x$$

Кількість спільних точок

А. жодної
Б. лише одна
В. лише дві
Г. лише три
Д. лише чотири

Рішення

Повторіть матеріали за темою: графік лінійної функції, графік показникової функції, графік степеневої функції, синусоїда

1. Прямі $$y=\frac{x}{5}$$ й $$y=x+5$$ мають одну спільну точку, тобто відповідь Б

2. Пряма $$y=\frac{x}{5}$$ і показникова функція $$y=5^x$$ не мають спільних точок, тобто відповідь А

3. Пряма $$y=\frac{x}{5}$$ і степенева функція $$y=\sqrt{x}$$ мають дві спільні точки, тобто відповідь В

4. Пряма $$y=\frac{x}{5}$$ і синусоїда $$y=\sin x$$ мають три спільні точки, тобто відповідь Г

Завдання 23

На рисунку зображено квадрат $$ABCD$$ зі стороною 1 см і прямокутний трикутник $$CDF$$, гіпотенуза якого $$CF$$ дорівнює $$\sqrt{5}$$ см. Фігури лежать в одній площині. Установити відповідність між початком і кінцем речення, щоб вийшло правильне твердження.

Початок речення

1. Довжина катета $$FD$$ трикутника $$CDF$$ дорівнює
2. Довжина радіуса кола, описаного біля квадрата $$ABCD$$, дорівнює
3. Відстань від точки $$F$$ до прямої $$BC$$ дорівнює
4. Відстань від точки $$F$$ до прямої $$BD$$ дорівнює

Кінець речення

А. 1 см
Б. $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$ см
В. $$\sqrt{2}$$ см
Г. 2 см
Д. $$\sqrt{5}$$ см

Рішення

1. За теоремою Піфагора $$FD=\sqrt{(\sqrt{5})^2-1^2}=2$$ см, тобто відповідь Г.

2. Діагональ квадрата, вписаного в коло, дорівнює діаметру цього кола. За теоремою Піфагора $$BD=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$$. Значить радіус кола дорівнює $$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$ см, тобто відповідь Б.

3. Відстань від точки до прямої дорівнює перпендикуляру, опущеному з даної точки на дану пряму. Точка $$F$$ лежить на паралельній до $$BC$$ прямій. Звідси відстань від точки $$F$$ до прямої $$BC$$ дорівнюватиме відстані від $$D$$ до $$BC$$, тобто дорівнює $$DC$$, а значить дорівнює 1 см. Отримали відповідь А.

4. $$BD$$ – діагональ квадрата, що ділить кут $$\angle D$$ навпіл, тобто $$\angle BDA=45^{\circ}$$. Опустимо перпендикуляр з точки $$F$$ на продовження прямої $$BD$$ і отримаємо прямокутний рівнобедрений трикутник з кутами при основі, рівними по $$45^{\circ}$$ (пропонуємо самостійно провести перпендикуляр на продовження сторони та скористатися вертикальністю кутів, сумою кутів трикутника). За теоремою Піфагора отримаємо, що шукана відстань дорівнюватиме $$\sqrt{\frac{FD^2}{2}}=\sqrt{2}$$ см. Отримали відповідь В.

Завдання 24

На рисунку зображено полігон частот певного ряду даних, на якому за віссю абсцис позначено елементи цього ряду, а за віссю ординат – їхні частоти. Установити відповідність між характеристикою цього ряду даних та її числовим значенням.

Характеристика ряду даних

1. кількість елементів
2. розмах
3. мода
4. медіана

Числове значення характеристики

А. 12
Б. 18
В. 21
Г. 30
Д. 40

Рішення

1. Кількість елементів ряду: $$3+5+1+3+2+4=18$$, отримали відповідь Б.

2. Розмах ряду чисел – це різниця між найбільшим і найменшим із цих чисел. Найбільший елемент ряду дорівнює 36, найменший елемент ряду дорівнює 6, тобто розмах дорівнює $$R = 36-6=30$$, отримали відповідь Г.

3. Мода ряду чисел – це число, яке зустрічається в цьому ряду частіше за інші. У нашому випадку елемент 12 зустрічається частіше за інші елементи ряду, а саме 5 разів, отже, мода дорівнює 12. Отримали відповідь А.

4. Медіаною числового ряду є:
а) число цього ряду, якщо число елементів ряду непарне
або
б) півсума двох його чисел, якщо число елементів ряду парне, яке перебуватиме рівно посередині ряду після його впорядкування (ранжування).

Упорядкуємо елементи ряду: 6; 6; 6; 12; 12; 12; 12; 12; 18; 24; 24; 24; 30; 30; 36; 36; 36; 36; 36; 36. У нашому випадку кількість елементів парна, отже медіаною буде півсума 9-го і 10-го елементів ряду: $$\frac{18+24}{2}=21$$. Отримали відповідь В.