Завдання 25

Довжина маршруту велосипедиста дорівнює 81 км. Першу частину цього маршруту він проїхав із постійною швидкістю за 3 години. Другу частину маршруту завдовжки 36 км велосипедист проїхав із постійною швидкістю 18 км/год.

1. Скільки часу (у годинах) витратив велосипедист на другу частину маршруту?

2. Якою була середня швидкість велосипедиста (у км/год) протягом усього маршруту?

Рішення

$$S=v\cdot t,$$ де $$S$$ – відстань, $$v$$ – швидкість, $$t$$ – час.

1. На другу частину маршруту велосипедист витратив $$t_2=\frac{S_2}{v_2}=\frac{36}{18}=2$$ години.

2. Середня швидкість велосипедиста протягом усього маршруту дорівнює $$v=\frac{81}{3+2}=16.2$$ км/год – відношення загальної відстані до загального часу.

Відповідь: 1) 2 години; 2) 16.2 км/год.

Завдання 26

Площа ромба дорівнює $$10.8$$ см2, а площа кола, вписаного в цей ромб – $$2.25\pi$$ см2.

1. Визначте довжину радіуса кола, вписаного в ромб (у см).

2. Обчислити довжину сторони ромба (у см).

Рішення

1. Площа кола обчислюється за формулою $$S=\pi r^2,$$ значить $$r=\sqrt{\frac{2.25\pi}{\pi}}=1.5$$ см.

2. Площу ромба, в який вписано коло, можна обчислити за формулою $$S=a\cdot 2r,$$ значить $$a=\frac{10.8}{2\cdot1.5}=3.6$$ см.

Відповідь: 1) 1.5 см; 2) 3.6 см.

Завдання 27

Обчислити $$\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}5\text{ctg}x\sin x dx.$$

Рішення

$$\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}5\text{ctg}x\sin x dx=5\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\cos x dx=$$

$$=5\sin x |_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}=5(1-\frac{1}{2})=\frac{5}{2}=2.5$$

Відповідь: 2.5

Завдання 28

Розв’язати нерівність $$(18+2x)^2(x^2+8x+15)\leqslant 0.$$ У відповіді запишіть суму всіх її цілих розв’язків.

Рішення

$$(18+2x)^2(x^2+8x+15)\leqslant 0$$

Знайдемо нулі

$$x=-9; x=-3; x=-5$$

$$4(x+9)^2(x+3)(x+5)\leqslant 0$$

$$4(x+9)^2\geqslant 0$$

$$(x+3)(x+5)\leqslant 0$$

Розв’язуючи методом інтервалів останню нерівність і враховуючи нулі, отримаємо $$x\in [-5;-3]\cup\{-9\}$$

Цілі розв’язки: $$-9; -5;-4;-3$$

Значить $$-9+(-5)+(-4)+(-3)=-21$$

Відповідь: $$-21$$

Завдання 29

Обчислити значення виразу $$(\sqrt[6]{27}-\sqrt[4]{100})\cdot(\sqrt[6]{27}+\sqrt[4]{100}).$$

Рішення

$$(\sqrt[6]{27}-\sqrt[4]{100})\cdot(\sqrt[6]{27}+\sqrt[4]{100})=(\sqrt[6]{27})^2-(\sqrt[4]{100})^2=\sqrt[3]{3^3}-\sqrt{10^2}=3-10=-7$$

Відповідь: $$-7$$

Завдання 30

Розв’язати систему рівнянь $$\left\{\begin{matrix}\sqrt{y-7x+33}=x\\ 4x-y=5\end{matrix}\right.$$

Якщо система має один розв’язок $$(x_0;y_0),$$ то у відповідь запишіть добуток $$x_0\cdot y_0.$$ Якщо система має два розв’язки $$(x_1;y_1)$$ й $$(x_2;y_2),$$ то у відповідь запишіть найбільший з добутків $$x_1\cdot y_1$$ и $$x_2\cdot y_2.$$

Рішення

$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{4x-5-7x+33}=x\\ y=4x-5\end{matrix}\right.$$

$$\sqrt{28-3x}=x$$

$$x\geqslant 0$$ й $$28-3x\geqslant 0,$$ значить $$x\in[0;9\frac{1}{3}]$$

Піднесемо до квадрата обидві частини

$$28-3x=x^2$$

Розв’яжемо квадратне рівняння

$$x^2+3x-28=0$$

За теоремою Вієта $$x_1=-7$$ – сторонній корінь, $$x_2=4$$

Значить $$y=4\cdot4-5=11$$

Система має єдиний розв’язок $$(4;11),$$ отже, $$4\cdot11=44$$

Відповідь: 44