Завдання 11

Укажіть правильну нерівність, якщо $$a=\sin 120^{\circ}, b=\cos 120^{\circ}.$$

А. $$ 0 \lt a \lt b$$

Б. $$ a \lt 0 \lt b $$

В. $$ a \lt b \lt 0 $$

Г. $$ b \lt 0 \lt a $$

Д. $$ 0 \lt b \lt a $$

Рішення

Використовуйте формули приведення, таблицю деяких тригонометричних кутів

$$a=\sin(180^{\circ}-60^{\circ})=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$b=\cos(180^{\circ}-60^{\circ})=-\cos60^{\circ}=-\frac{1}{2}$$

Значить $$b \lt 0 \lt a$$

Відповідь: Г

Завдання 12

На рисунку зображено куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1,$$ ребро якого дорівнює 1 см.

Обчислити відстань від точки $$A$$ до прямої $$B_1C_1.$$


А. 1 см

Б. 2 см

В. $$\sqrt{2}$$ см

Г. 3 см

Д. 1.5 см

Рішення

Проведемо діагональ $$AB_1\perp B_1C_1$$ – відстань від точки $$A$$ до прямої $$B_1C_1.$$

З прямокутного трикутника $$ABB_1: \angle B=90^{\circ}$$ за теоремою Піфагора

$$AB_1=\sqrt{AB^2+BB_1^2}=\sqrt{2}$$ (використали умову, що ребро куба дорівнює 1 см)

Відповідь: В

Завдання 13

Знайти всі значення $$x$$, за яких значення виразу $$2-5x$$ належить проміжку $$(-3;6).$$

А. $$ -1 < x <0.8$$

Б. $$-0.8 < x <1$$

В. $$0 < x <9$$

Г. $$-1.6 < x <0.2$$

Д. $$-0.2 < x <1.6$$

Рішення

$$-3 < 2-5x < 6$$

Віднімаємо 2

$$-5 < -5x < 4$$

Ділимо на $$-5$$, помінявши при цьому знаки нерівності на протилежні

$$-0.8 < x < 1$$

Відповідь: Б

Завдання 14

Функція $$y=f(x)$$ зростає на проміжку $$(-\infty;\infty).$$ Яке з наведених чисел може бути значенням даної функції в точці $$x=8$$, якщо $$f(1)=-2, f(9)=5?$$

А. $$-8$$

Б. $$-3$$

В. $$-2$$

Г. $$3$$

Д. $$8$$

Рішення

Оскільки функція зростає, то $$f(1) < f(8) < f(9)$$, тобто $$-2 < f(8) < 5$$

У цей інтервал із представлених потрапляє лише 3.

Відповідь: Г

Завдання 15

Довжина кола основи циліндра дорівнює $$18\pi$$ см. Визначити площу бічної поверхні цього циліндра, якщо його висота дорівнює 7 см.

А. $$126\pi$$ см2

Б. $$207\pi$$ см2

В. $$252\pi$$ см2

Г. $$288\pi$$ см2

Д. $$567\pi$$ см2

Рішення

Площу бічної поверхні циліндра можна знайти за формулою $$S=2\pi R H$$, довжину кола – за формулою $$C=2\pi R$$

Значить $$S=18\pi\cdot 7=126\pi$$

Відповідь: А

Завдання 16

$$|2-\sqrt{5}|+|2+\sqrt{5}|=$$

А. 4

Б. $$2\sqrt{5}$$

В. $$4+2\sqrt{5}$$

Г. $$4-2\sqrt{5}$$

Д. $$2\sqrt{5}-4$$

Рішення

$$2=\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}=3$$

$$|2-\sqrt{5}|+|2+\sqrt{5}|=\sqrt{5} -2+2+\sqrt{5}=2\sqrt{5}$$

Відповідь: Б

Завдання 17

Крапка $$M$$ не належить площині $$\alpha.$$ Які з наведених тверджень є правильними?

I. Через точку $$M$$ можна провести лише одну площину, паралельну площині $$\alpha.$$

II. Через точку $$M$$ можна провести лише одну площину, перпендикулярну до площини $$\alpha.$$

III. Через точку $$M$$ можна провести лише одну площину, що перетинає $$\alpha$$ під кутом $$45^{\circ}.$$

А. Лише I

Б. Лише II

В. Лише I й III

Г. Лише II й III

Д. I, II й III

Рішення

Серед перерахованих правильне лише перше твердження: Через точку $$M$$, що не належить площині $$\alpha$$, можна провести лише одну площину, паралельну площині $$\alpha.$$

Відповідь: А

Завдання 18

Знайти похідну функції $$y=x^7\ln x.$$

А. $$y^{\prime}=7x^5$$

Б. $$y^{\prime}=7x^6\ln x+x^6$$

В. $$y^{\prime}=x^6\ln x+x^6$$

Г. $$y^{\prime}=7x^6\ln x$$

Д. $$y^{\prime}=7x\ln x+x^6$$

Рішення

Використовуйте правила диференціювання, таблицю похідних

$$y^{\prime}=7x^6\ln x+x^7\cdot\frac{1}{x}=7x^6\ln x+x^6$$

Відповідь: Б

Завдання 19

Об’єм конуса дорівнює 64 см3. Через середину висоти цього конуса паралельно його основі проведено площину. Одержаний переріз є основою меншого конуса, вершина якого збігається з вершиною заданого.

Знайти об’єм меншого конуса.

А. 32 см3

Б. 16 см3

В. 12 см3

Г. 8 см3

Д. 4 см3

Рішення

Об’єм конуса можна обчислити за формулою $$V=\frac{1}{3}\pi R^2 H$$

Площина, проведена через середину висоти конуса і паралельно до його основи, є у двовимірному просторі середньою лінією рівнобедреного трикутника (конус проєктується в рівнобедрений трикутник). Таким чином виходить два подібні трикутники з коефіцієнтом подібності 2.

$$V_1=64$$ – об’єм більшого конуса, $$H_1=2H_2,$$ де $$H_1$$ – висота більшого, а $$H_2$$ – меншого конуса (з умови), $$R_1=2R_2,$$ де $$R_1$$ – радіус основи більшого, а $$R_2$$ – радіус основи меншого конуса (з подібності трикутників).

Тоді $$V_2=\frac{1}{3}\pi R_2^2 H_2=\frac{1}{3}\pi (\frac{R_1}{2})^2\cdot \frac{H_1}{2}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{3}\pi R_1^2 H_1=\frac{1}{8}V_1=\frac{64}{8}=8$$

Відповідь: Г

Завдання 20

Розв’язати нерівність $$3 + \log_{2}x\geqslant0.$$

А. $$[\frac{1}{8};\infty)$$

Б. $$(0;\frac{1}{8}]$$

В. $$(-\infty;\frac{1}{8}]$$

Г. $$[8;\infty)$$

Д. $$[-6;\infty)$$

Рішення

ОДЗ: $$x>0$$

$$\log_{2}x\geqslant-3$$

$$\log_{2}x\geqslant\log_{2}\frac{1}{8}$$

Основа логарифма більша за одиницю, отже, знак нерівності зберігається під час потенціювання

$$x\geqslant\frac{1}{8}$$

Відповідь: А