Завдання 11

Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння $$\sqrt[3]{2x}=-3?$$

А. $$(-30;-20)$$

Б. $$(-20;-10)$$

В. $$(-10;0)$$

Г. $$(0;10)$$

Д. $$(10;20)$$

Рішення

Зведемо в 3 ступінь

$$2x=-27$$

$$x=-13.5\in (-20;-10)$$

Відповідь: Б

Завдання 12

Розв’язати рівняння $$\text{tg}(3x)=\sqrt{3}$$

А. $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n, n\in\mathbb{Z}$$

Б. $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n, n\in\mathbb{Z}$$

В. $$x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}, n\in\mathbb{Z}$$

Г. $$x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3}, n\in\mathbb{Z}$$

Д. $$x=\frac{\pi}{9}+\pi n, n\in\mathbb{Z}$$

Рішення

Повторіть розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь

$$\text{tg}(3x)=\sqrt{3}$$

$$3x=\text{arctg}\sqrt{3} + \pi n, n\in\mathbb{Z}$$

$$x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi}{3}n, n\in\mathbb{Z}$$

Відповідь: В

Завдання 13

У гострокутному трикутнику $$ABC$$ проведена висота $$BM.$$ Визначити довжину сторони $$AB,$$ якщо $$BM=12,$$ $$\angle A=\alpha.$$

А. $$\frac{12}{\cos\alpha}$$

Б. $$12\cos\alpha$$

В. $$12\text{tg}\alpha$$

Г. $$12\sin\alpha$$

Д. $$\frac{12}{\sin\alpha}$$

Рішення

Пригадайте визначення тригонометричних функцій для гострих кутів.

$$\sin\alpha=\frac{BM}{AB}$$

$$AB=\frac{12}{\sin\alpha}$$

Відповідь: Д

Завдання 14

Відомо, що $$\text{ctg}\alpha < 0,$$ $$\cos\alpha>0.$$ Яке значення може набувати $$\sin\alpha?$$

А. $$-1$$

Б. $$-\frac{1}{2}$$

В. 0

Г. $$\frac{1}{2}$$

Д. 1

Рішення

Повторіть визначення тригонометричних функцій

$$\text{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$$

Оскільки $$\text{ctg}\alpha<0, \cos\alpha>0,$$ значить $$\sin\alpha<0$$ і може прийняти значення $$-\frac{1}{2}$$ $$(-1$$ не підходить, тому що косинус дорівнював би нулю).

Відповідь: Б

Завдання 15

Якщо $$a\lt-7,$$ то $$|\frac{a^2-49}{a+7}|=$$

А. $$7-a$$

Б. $$a+7$$

В. $$a-7$$

Г. 0

Д. $$-7-a$$

Рішення

$$|\frac{a^2-49}{a+7}|=|\frac{(a-7)(a+7)}{a+7}|=|a-7|=7-a$$

Відповідь: А

Завдання 16

На малюнку зображено розгортку піраміди, що складається з квадрата зі стороною 10 см і чотирьох правильних трикутників. Визначити площу бічної поверхні цієї піраміди (у см2).

А. $$100\sqrt{3}$$

Б. 100

В. $$400\sqrt{3}$$

Г. $$100\cdot(1+\sqrt{3})$$

Д. 200

Рішення

Площа бічної поверхні складатиметься з площ чотирьох правильних трикутників зі стороною 10 см (в основі піраміди квадрат зі стороною 10 см). Залишається згадати формулу площі правильного трикутника:

$$S_{\triangle}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$

Отже, площа бічної поверхні піраміди дорівнює

$$S=4\cdot S_{\triangle}=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\sqrt{3}a^2=10^2\sqrt{3}=100\sqrt{3}$$

Відповідь: А.

Завдання 17

Розв’язати нерівність $$(x+4)^2 \leqslant 16$$

А. $$(-\infty;8]$$

Б. $$(-\infty;0]$$

В. $$(-\infty;4]$$

Г. $$[-8;8]$$

Д. $$[-8;0]$$

Рішення

$$(x+4)^2 -16 \leqslant 0$$

$$(x+4-4)(x+4+4) \leqslant 0$$

$$x(x+8) \leqslant 0$$

Розв’язуючи методом інтервалів, отримаємо $$x\in [-8;0]$$

Відповідь: Д.

Завдання 18

Відрізок $$AB$$ перетинає площину $$\alpha$$ в точці $$O.$$ Проєкції відрізків $$AO$$ і $$BO$$ на цю площину дорівнюють 5 см і 20 см відповідно. Знайти довжину відрізка $$AB$$, якщо $$AO=8$$ см.

А. 10 см

Б. 22 см

В. 32 см

Г. 40 см

Д. 52 см

Рішення

Нехай $$CO$$ й $$DO$$ – відповідно проєкції $$AO$$ й $$BO$$ на площину $$\alpha$$. Для знаходження $$BO$$ скористаємося подібністю трикутників $$\triangle ACO \sim \triangle BDO$$ (рівність кутів).

$$\frac{AO}{BO}=\frac{CO}{DO}$$

$$\frac{8}{BO}=\frac{5}{20}$$

$$BO=32$$ см

$$AB=AO+BO=8+32=40$$ см

Відповідь: Г

Завдання 19

На площі міста встановили однакові бетонні місткості для квітів, виготовлені у формі прямокутних паралелепіпедів, розміри яких дорівнюють 40 см, 50 см і 40 см (див. рисунок). Товщина кожної з чотирьох бічних стінок становить 5 см, а товщина днища – 10 см. Який об’єм бетону (у м3) було використано для виготовлення 10 таких місткостей? Втратою бетону під час виготовлення знехтувати.

А. 0.32 м3

Б. 0.33 м3

В. 0.36 м3

Г. 0.44 м3

Д. 0.8 м3

Рішення

$$V=10 \cdot[0.4\cdot0.4\cdot0.5-(0.4-0.05-0.05)\cdot(0.4-0.1)\cdot(0.5-0.05-0.05)]=10\cdot(0.08-0.036)=0.44$$ м3

Відповідь: Г

Завдання 20

Укажіть рівняння дотичної, проведеної до графіка функції $$y=f(x)$$ у точці з абсцисою $$x_0=1,$$ якщо $$f(x_0)=5,$$ $$f^{\prime}(x_0)=2.$$

А. $$y=1+2(x-5)$$

Б. $$y=5+2(x+1)$$

В. $$y=2+5(x-1)$$

Г. $$y=2+5(x+1)$$

Д. $$y=5+2(x-1)$$

Рішення

$$f(x)-f(x_0)=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)$$

$$y=5+2(x-1)$$

Відповідь: Д