Завдання 31

На рисунку схематично зображено опуклий міст, що має форму дуги $$AMB$$ окружності з центром у точці $$O.$$ $$MN$$ – серединний перпендикуляр до $$AB,$$ $$MN=3$$ м. Визначити довжину радіуса $$OB$$ (у метрах), якщо довжина відрізка $$AB$$ дорівнює 12 м.

Рішення

Розглянемо трикутник $$\triangle ONB: \angle N=90^{\circ}$$

За теоремою Піфагора $$OB^2=ON^2+NB^2$$

Нехай $$OM=OB=x$$ – радіус окружності. Тоді $$ON=OM-MN=x-3,$$ $$NB=\frac{1}{2}AB=6$$

$$x^2=(x-3)^2+36$$

$$x^2=x^2+9-6x+36$$

$$6x=45$$

$$x=7.5$$

Відповідь: $$7.5$$

Завдання 32

Областю визначення періодичної функції $$y=f(x)$$ з періодом $$T=9$$ є множина всіх дійсних чисел. На проміжку $$(-5;4]$$ ця функція задана формулою $$f(x)=19-x^3.$$

Обчислити значення $$f(5).$$

Рішення

Періодичної називається функція, яка повторює свої значення через якийсь регулярний інтервал, тобто не змінює свого значення при додаванні до аргументу фіксованого ненульового числа (періоду функції).

Скористаємося періодичністю функції $$f(5)=f(5-9)=f(-4)=19-(-4)^3=19+64=83$$

Відповідь: 83

Завдання 33

В основі піраміди $$SABCD$$ лежить трапеція $$ABCD$$ $$(BC\parallel AD).$$ Бічна грань $$SBC,$$ площа якої дорівнює $$24.4$$ см2, перпендикулярна до площини основи піраміди. Точка $$M$$ – середина ребра $$SB.$$ Площину $$(MAD)$$ перетинає ребро $$SC$$ в точці $$N.$$

Визначте довжину відрізка $$MN$$ (у см), якщо об’єм піраміди дорівнює $$152$$ см2, а площа її основи – $$57$$ см2.

Рішення

Очевидно, що $$MN$$ – середня лінія трикутника $$\triangle SBC$$ (за умовою $$BC\parallel AD,$$ $$M$$ – середина $$SB,$$ значить $$MN\parallel AD$$ й $$N$$ – середина $$SC)$$ та $$MN=\frac{1}{2}BC$$

Площу трикутника $$SBC$$ можна обчислити за формулою $$S_{\triangle SBC}=\frac{1}{2}BC\cdot H=MN\cdot H,$$ де $$H$$ – висота до сторони $$BC$$ і висота піраміди (з умови $$(SBC)$$ перпендикулярна до площини основи піраміди)

Значить $$MN=\frac{S_{\triangle SBC}}{H}$$

Висоту піраміди знайдемо з її об’єму: $$V_{SABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot H,$$ тобто $$H=\frac{3V_{SABCD}}{S_{ABCD}}$$

Отже, $$MN=\frac{S_{\triangle SBC}\cdot S_{ABCD}}{3V_{SABCD}}=\frac{24.4\cdot57}{3\cdot152}=3.05$$

Відповідь: $$3.05$$

Завдання 34

Знайти найменше значення параметра $$a,$$ за якого рівняння
$$2^{\sin^2(2\pi x+\frac{5\pi}{4})}=\frac{4}{(x-a)^2-6(x-a)+13}$$
має позитивний корінь.

Рішення

Розв’язок рівняння почнемо з аналізу лівої й правої частин.

Перетворимо знаменник правої частини рівняння

$$(x-a)^2-6(x-a)+13=[(x-a)^2-2\cdot(x-a)\cdot3+9]+4=(x-a-3)^2+4\geqslant4$$

Отже, права частина рівняння $$0<\frac{4}{(x-a-3)^2+4}\leqslant1$$

Розпочнемо аналіз лівої частини рівняння

$$|\sin(2\pi x+\frac{5\pi}{4})|\leqslant1$$

$$0\leqslant\sin^2(2\pi x+\frac{5\pi}{4})\leqslant1$$

$$2^y$$ – функція, що зростає

$$1=2^0\leqslant2^{\sin^2(2\pi x+\frac{5\pi}{4})}\leqslant 2^1=2$$

Отримали, що ліва частина більше або дорівнює одиниці, а права – менше або дорівнює одиниці.

Отже, обидві частини рівняння дорівнюють одиниці.

Розглянемо праву частину

$$\frac{4}{(x-a-3)^2+4}=1$$ $$x=a+3>0$$

$$a>-3$$

Розглянемо ліву частину

$$2^{\sin^2(2\pi x+\frac{5\pi}{4})}=1=2^0$$

$$\sin^2(2\pi x+\frac{5\pi}{4})=0$$

$$\sin(2\pi x+\frac{5\pi}{4})=0$$ – окремий випадок

$$2\pi x+\frac{5\pi}{4}=\pi k, k\in \mathbb{Z}$$

$$x=\frac{k}{2}-\frac{5}{8}, k\in \mathbb{Z}$$

Оскільки $$x>0,$$ то $$\frac{k}{2}-\frac{5}{8}>0$$

$$k>\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$$

Тобто $$k=2;3;4;5;$$…

$$a=x-3=\frac{k}{2}-\frac{5}{8}-3$$

Параметр $$a$$ приймає найменше значення при $$k=2$$

Значить $$a=\frac{2}{2}-\frac{5}{8}-3=-2\frac{5}{8}=-2.625$$

Відповідь: $$-2.625$$