Завдання. Спростити тригонометричний вираз

Завдання

Спростити $$\cos^4\frac{x}{2}-\cos^4\left (\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2} \right )$$

Рішення

За формулою приведення $$\cos\left (\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2} \right )=\sin\frac{x}{2}$$, тоді $$\cos^4\frac{x}{2}-\cos^4\left (\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2} \right )=\cos^4\frac{x}{2}-\sin^4\frac{x}{2}$$

За формулою різниці квадратів одержимо

$$\cos^4\frac{x}{2}-\sin^4\frac{x}{2}=\left (\cos^2\frac{x}{2} \right )^2-\left (\sin^2\frac{x}{2} \right )^2=\left ( \cos^2\frac{x}{2}- \sin^2\frac{x}{2}\right )\left ( \cos^2\frac{x}{2}+ \sin^2\frac{x}{2}\right )$$

Застосуємо основне тригонометричне тотожність і формулу косинуса подвійного кута

$$\left ( \cos^2\frac{x}{2}- \sin^2\frac{x}{2}\right )\left ( \cos^2\frac{x}{2}+ \sin^2\frac{x}{2}\right )=\cos\left ( 2\cdot\frac{x}{2} \right )\cdot1=\cos x$$