Правила диференціювання. Таблиця похідних. Геометричний та фізичний змісти похідної

Визначення

Похідною функції $$y=f(x)$$ у точці $$x$$ називається границя (ліміт) відношення збільшення функції $$\Delta y$$ до приросту $$\Delta x$$ аргументу $$x,$$ коли приріст аргументу прагне до нуля.

$$y^{\prime}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

Основні правила диференціювання

  1. Похідна від алгебраїчної суми функцій є алгебраїчна сума похідних:
    $$\left ( f(x)\pm g(x)\pm h(x) \right )^{\prime}=f'(x)\pm g^{\prime}(x)\pm h^{\prime}(x).$$
  2. Похідна від добутку двох функцій є добуток похідної першої функції на другу функцію плюс добуток першої функції на похідну другої функції:
    $$(u\cdot v)^{\prime}=u^{\prime}\cdot v+u\cdot v^{\prime},\;u=u(x),\;v=v(x).$$
  3. Постійне число (константу) можна винести за знак похідної:
    $$\left ( c f(x) \right )^{\prime}=cf^{\prime}(x),\;c=const.$$
  4. Похідна від дробу двох функцій є новий дріб, в чисельнику якого добуток похідної старого чисельника на старий знаменник мінус добуток старого чисельника на похідну старого знаменника, а в знаменнику нового дробу знаменник старого дробу у квадраті:
    $$\left ( \frac{u}{v} \right )^{\prime}=\frac{u^{\prime}\cdot v-u\cdot v^{\prime}}{v^2},\;u=u(x),\;v=v(x)\neq0.$$

Таблиця похідних

Функція $$y$$

Похідна $$y^{\prime}$$

$$c=const$$0
$$x^n$$$$nx^{n-1},\;n\in \mathbb{R}$$
$$a^x$$$$a^x\ln a,\;a>0,\;a\neq1$$
$$e^x$$$$e^x$$
$$\log_a x$$$$\frac{1}{x\ln a},\;a>0,\;a\neq1$$
$$\ln x$$$$\frac{1}{x}$$
$$\sin x$$$$\cos x$$
$$\cos x$$$$-\sin x$$
$$\text{tg}\, x$$$$\frac{1}{\cos^2x}$$
$$\text{ctg}\, x$$$$-\frac{1}{\sin^2x}$$
$$\arcsin x$$$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$\arccos x$$$$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$\text{arctg}\, x$$$$\frac{1}{1+x^2}$$
$$\text{arcctg}\, x$$$$-\frac{1}{1+x^2}$$

Геометричний зміст похідної

Для будь-яких двох точок $$A(x_0;f(x_0))$$ та $$B(x_0+\Delta x;f(x_0+\Delta x))$$ графіка функції $$y=f(x)$$ відбувається: $$\text{tg}\,\alpha=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x},$$ де $$\alpha$$ – кут нахилу січної AB.

Таким чином, різницеве відношення дорівнює кутовому коефіцієнту січною. Якщо зафіксувати точку A і рухати у напрямку до неї точку B, то $$\Delta x$$ необмежено зменшується і наближається до 0, а січна АВ наближається до дотичної АС. Отже, границя різницевого відношення дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної в точці A.

Похідна $$f^{\prime}(x_0)$$ функції $$y=f(x)$$ в точці $$x_0$$ дорівнює кутовому коефіцієнту (тангенсу кута нахилу) дотичної до графіка функції в цій точці.

Рівняння дотичної до графіка диференційованої функції

$$y-f(x_0)=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)$$

Фізичний зміст похідної

Нехай матеріальна точка рухається по координатній прямій, підкоряючись закону $$x=x(t),$$ тобто координата цієї точки $$x$$ – відома функція часу $$t.$$

Фізичний зміст похідної полягає в тому, що похідна від координати за часом є миттєва швидкість: $$v(t)=x^{\prime}_t$$