Завдання. Знайти об’єм рівногранного тетраедра

Визначення

Визначення 1

Тетраедр – найпростіший багатогранник, гранями якого є чотири трикутники.

Визначення 2

Тетраедр називається рівногранним, якщо його межі — рівні трикутники.

Визначення 3

Відрізки, кожен з яких з’єднує середини протилежних (схрещених) ребер тетраедра, називаються його бімедіанами (середніми лініями).

Задача

У трикутній піраміді всі чотири грані є рівнобедреними трикутниками з основою $$\sqrt{14}$$ та бічною стороною 4. Знайти об’єм піраміди.

Рішення

Через те, що грані трикутної піраміди за умовою є рівними рівнобедреними трикутниками, то ця піраміда є рівногранним тетраедром $$DABC$$:

$$DA=BC=DB=AC=4,DC=AB=\sqrt{14}$$.

Проведемо в розглянутому рівногранному тетраедрі бімедіани $$\delta_1=PQ$$, $$\delta_2=EF$$ та $$\delta_3=MN$$.

Об’єм рівногранного тетраедра дорівнює третині від добутку бімедіан, тобто $$V=\frac{1}{3}\delta_1\delta_2\delta_3$$.

$$\delta_1^2=PQ^2=\frac{1}{2}(DB^2+DC^2-DA^2)=\frac{1}{2}(16+14-16)=7\Rightarrow \delta_1=\sqrt{7}$$

$$\delta_2^2=EF^2=\frac{1}{2}(DC^2+DA^2-DB^2)=\frac{1}{2}(14+16-16)=7\Rightarrow \delta_2=\sqrt{7}$$

$$\delta_3^2=MN^2=\frac{1}{2}(DA^2+DB^2-DC^2)=\frac{1}{2}(16+16-14)=9\Rightarrow \delta_3=3$$

Тоді об’єм дорівнює:

$$V=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}\cdot3=7$$

Відповідь: 7.

Докладніше з властивостями тетраедра Ви можете ознайомитись у посібнику: Понарин Я. П. Элементарная геометрия: В 2 т. – Т. 2: Стереометрия, преобразования пространства. – М.: МЦНМО, 2006. – 256 с.: ил.