Означення

Квадратним рівнянням називається рівняння виду:

$$ax^2+bx+c=0\;(a\neq0),$$

де $$x$$ – змінна (невідома), $$a,b,c$$ – числові коефіцієнти, що стоять відповідно при другому, першому та нульовому ступенях невідомої.

Формули коренів

Квадратне рівняння, записане у загальному вигляді

$$ax^2+bx+c=0\;(a\neq0)$$ – квадратне рівняння.

$$D=b^2-4ac$$ – дискримінант.

1) Якщо дискримінант невід’ємний, тобто. $$D\geqslant 0,$$ то рівняння має два дійсні корені

(при $$D>0$$ корені різні, а при $$D=0$$ корені збігаються)

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$

2) Якщо дискримінант негативний, тобто $$D<0,$$ то рівняння дійсних коренів не має.

Рівняння з парним коефіцієнтом при змінній в 1 ступені

Якщо коефіцієнт $$b,$$ що стоїть при змінній у першому ступені, є парним числом, тобто $$b=2k,$$ то рівняння набуває вигляду:

$$ax^2+2kx+c=0$$

Випишемо формули дискримінанта та коренів для такого рівняння:

$$D_{1}=k^2-ac$$

$$x_{1,2}=\frac{-k\pm\sqrt{D_{1}}}{a}\;\left (D_{1}\geqslant 0 \right )$$

Зведене рівняння

Якщо коефіцієнт $$a,$$, що стоїть при змінній у другому ступені, дорівнює одиниці, то перепишемо початкове рівняння в наступному вигляді:

$$x^2+px+q=0$$

Таке рівняння називається зведеним.

Випишемо формули дискримінанта та коренів для такого рівняння:

$$D_{2}=\frac{p^2}{4}-q$$

$$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{D_{2}}\;(D_{2}\geqslant 0)$$

Твердження

Теорема Вієта

1) Якщо $$x_{1},\;x_{2}$$ – корені квадратного рівняння $$x^2+px+q=0,$$ то

$$x_{1}+x_{2}=-p$$

$$x_{1}\cdot x_{2}=q$$

2) Якщо $$x_{1},\;x_{2}$$ – корені квадратного рівняння $$ax^2+bx+c=0\;(a\neq0),$$ то

$$x_{1}+ x_{2}=-\frac{b}{a}$$

$$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}$$

Формула розкладання квадратного тричлена на множники

Якщо $$x_{1},\;x_{2}$$ – корені квадратного рівняння $$ax^2+bx+c=0\;(a\neq0),$$ то

$$ax^2+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$