П’ять завдань на логарифми. Використовуючи властивості логарифмів спростити та обчислити вирази

Завдання 1

Знайти значення виразу: $$3^{\frac{1}{2}\log_{3}16}+\log_{2}25+\log_{\sqrt{2}}\frac{2}{5}$$.

Рішення

$$3^{\frac{1}{2}\log_{3}16}+\log_{2}25+\log_{\sqrt{2}}\frac{2}{5}=3^{\frac{1}{2}\log_{3}4^2}+\log_{2}5^2+\log_{2^{\frac{1}{2}}}\frac{2}{5}=$$

$$=3^{\log_{3}4}+2\log_{2}5+2\log_{2}\frac{2}{5}=4+2\log_{2}\left ( 5\cdot\frac{2}{5} \right )=4+2=6$$

Відповідь: 6.

Завдання 2

Спростити вираз: $$a^{\frac{\log_b(\log_b a)}{\log_b a}}\cdot\log_a b.$$

Рішення

$$a^{\frac{\log_b(\log_b a)}{\log_b a}}\cdot\log_a b=a^{\log_a b\cdot\log_b(\log_b a)}\cdot\log_a b= (a^{\log_a b})^{\log_b(\log_b a)}\cdot\log_a b=$$

$$=b^{\log_b(\log_b a)}\cdot\log_a b=\log_b a\cdot\log_a b=1$$

Відповідь: 1.

Завдання 3

Знайти $$\log_{ab}b,$$ якщо $$\log_{ab}a=9.$$

Рішення

Перетворимо відомий вираз

$$\log_{ab}a=9$$

$$\frac{1}{\log_{a}ab}=9$$

$$\frac{1}{\log_{a}a+\log_{a}b}=9$$

$$\frac{1}{1+\log_{a}b}=9$$

$$1+\log_{a}b=\frac{1}{9}$$

$$\log_{a}b=\frac{1}{9}-1$$

$$\log_{a}b=-\frac{8}{9}$$

$$\log_{b}a=-\frac{9}{8}$$

Тепер перетворимо шуканий вираз

$$\log_{ab}b=\frac{1}{\log_{b}ab}=\frac{1}{\log_{b}a+1}=$$

Підставимо $$\log_{b}a=-\frac{9}{8}$$ і отримаємо

$$\log_{ab}b=\frac{1}{-\frac{9}{8}+1}=1:(-\frac{1}{8})=-8$$

Відповідь: $$-8.$$

Завдання 4

Знайти значення виразу

$$(5^{\log_{5}{(\sqrt{3}+8)}}-3^{\log_{9}{(\sqrt{3}-8)^2}})^2.$$

Рішення

$$(5^{\log_{5}{(\sqrt{3}+8)}}-3^{\log_{3^2}{(8-\sqrt{3})^2}})^2=(\sqrt{3}+8-(8-\sqrt{3}))^2=(2\sqrt{3})^2=12$$

Відповідь: 12

Завдання 5

Знайти значення виразу

$$(\log_{5}2+\log_{2}5+2)(\log_{5}2-\lg2)\cdot\log_{2}5-\log_{5}2.$$

Рішення

$$(\log_{5}2+\log_{2}5+2)(\log_{5}2-\lg2)\cdot\log_{2}5-\log_{5}2=$$

$$=(\log_{5}2\cdot\log_{2}5+(\log_{2}5)^2+2\log_{2}5)(\log_{5}2-\lg2)-\log_{5}2=$$

$$=(\log_{2}5+1)^2(\log_{5}2-\lg2)-\log_{5}2$$

Розіб’ємо на три дії:

1) $$\log_{2}5+1=\log_{2}5+\log_{2}2=\log_{2}10$$

2) $$\log_{5}2-\lg2=\frac{1}{\log_{2}5}-\frac{1}{\log_{2}10}=\frac{\log_{2}{2\cdot5}-\log_{2}5}{\log_{2}5\log_{2}10}=$$

$$=\frac{\log_{2}2+\log_{2}5-\log_{2}}{\log_{2}5\log_{2}10}=\frac{1}{\log_{2}5\log_{2}10}$$

3) $$(\log_{2}10)^2\cdot\frac{1}{\log_{2}5\log_{2}10}-\log_{5}2=\frac{\log_{2}10}{\log_{2}5}-\log_{5}2=$$

$$=\frac{\log_{2}2+\log_{2}5}{\log_{2}5}-\log_{5}2=\frac{1}{\log_{2}5}+1-\frac{1}{\log_{2}5}=1$$

Відповідь: 1.