Завдання. Розв’язати задачу для 5 класу про зв’язок між площами фігур

Задача

Квадрат зі стороною $$b$$ вписано у квадрат зі стороною $$c$$ і в нього вписано ще один квадрат зі стороною $$a.$$ Вершини вписаних квадратів лежать на середині сторін квадратів, у які їх вписано (див. рисунок). Площа найменшого квадрата – 25, яка площа найбільшого квадрата?

Рішення

Існує кілька способів вирішення цього завдання. Розберемо два з них:

1. ґрунтуючись на знаннях учнів 5 класу про площі квадрата і трикутника;

2. якщо учні 5 класу ще не знають формул площ.

1 спосіб

Спочатку розглянемо два внутрішні квадрати (середній і маленький).

Проведемо діагональ у найменшому квадраті, отримаємо прямокутний трикутник (одна з вершин трикутника збігається з вершиною квадрата). З вершини прямого кута проведемо висоту на сторону, що лежить навпроти цього кута. Очевидно, що отримана висота дорівнює $$\frac{b}{2},$$ протилежна сторона дорівнює $$b,$$ а сторони при куті в $$90^{\circ}$$ дорівнюють по $$a$$ (з умови задачі + див. рисунок).

Площу отриманого трикутника знайдемо двома способами:

1. Оскільки трикутник прямокутний, то його площу можна знайти, перемноживши довжини сторін при прямому куті й розділивши отриманий добуток на 2. Тобто $$S_{\triangle}=\frac{a^2}{2}.$$

2. Використовуючи формулу площі довільного трикутника, знайдемо площу, перемноживши сторону й опущену до неї висоту, розділивши потім отриманий добуток на 2. Тобто $$S_{\triangle}=b\cdot\frac{b}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{b^2}{4}.$$

Прирівнявши площі, отримаємо:

$$\frac{b^2}{4}=\frac{a^2}{2},$$ звідси $$b^2=2a^2.$$ Тобто площа вписаного квадрата, вершини якого ділять сторони описаного квадрата навпіл, удвічі менша за площу описаного квадрата.

Тепер розглянемо середній і великий квадрати, виконавши ті самі дії, як для малого і середнього квадратів (див. рисунок).

Користуючись висновком для випадку малого і середнього квадратів, отримаємо:

$$c^2=2b^2.$$

Або $$c^2=2b^2=2\cdot2a^2=4a^2=4\cdot25=100$$

Відповідь: 100

2 спосіб

Цей спосіб ґрунтується на рівності площ трикутників (див. рисунки нижче для малого і середнього квадратів і для середнього і великого квадратів).

Очевидно, що малий квадрат складається з 4-х рівних трикутників, а середній – з 8-ми. Тобто площа малого квадрата у 2 рази менша за площу середнього.

Аналогічно до попереднього, площа середнього квадрата у 2 рази менша за площу великого. Отже, площа більшого квадрата в 4 рази більша за площу меншого.

Відповідно площа великого квадрата дорівнює 100.

Відповідь: 100.