Друга частина атестаційної роботи складається з чотирьох завдань відкритої форми з короткою відповіддю.
Завдання 2.1
Розв’яжіть рівняння $$x^3+2x^2-x-2=0.$$
Рішення
Для розкладання многочлена на множники, що стоїть ліворуч, використаємо метод групування, винесення спільного множника за дужки та застосуємо формулу різниці квадратів.
$$x^3-x+2x^2-2=0$$
$$x(x^2-1)+2(x^2-1)=0$$
$$(x^2-1)(x+2)=0$$
$$(x-1)(x+1)(x+2)=0$$
Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із співмножників дорівнює нулю.
$$x-1=0,\;x+1=0,\;x+2=0$$
Значить $$x=1,\; x=-1,\; x=-2$$
Відповідь: $$-2;\;-1;\;1$$.
Завдання 2.2
На прямій $$y=10-3x$$ знайдіть точку, ордината якої удвічі більша за абсцису.
Рішення
За умовою $$y=2x$$, підставимо його в рівняння прямої
$$2x=10-3x\Rightarrow 5x=10\Rightarrow x=2\Rightarrow y=4$$
Значить $$(2;4)$$ – шукана точка.
Відповідь: $$(2;4)$$.
Завдання 2.3
Знайдіть суму перших семи членів геометричної прогресії $$(b_n)$$, якщо $$b_2=\frac{1}{2},\;b_3=\frac{1}{4}.$$
Рішення
Знайдемо знаменник геометричної прогресії, а потім перший член і суму семи перших членів, використовуючи властивості степенів.
$$q=\frac{b_3}{b_2}=\frac{1}{4}:\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$
$$b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{1}{2}:\frac{1}{2}=1$$
$$S_7=\frac{1\left (1-\left (\frac{1}{2} \right )^7 \right )}{1-\frac{1}{2}}=\frac{2\left (2^7-1 \right )}{2^7\left (2-1 \right )}=\frac{2^7-1}{2^6}=\frac{128-1}{64}=\frac{127}{64}=1\frac{63}{64}$$
Відповідь: $$1\frac{63}{64}$$.
Завдання 2.4
Дві сторони трикутника відносяться як 5:3, а кут між ними дорівнює 1200. Знайдіть третю сторону трикутника, якщо його периметр дорівнює 45 см.
Рішення
$$\frac{a}{b}=\frac{5}{3}\Rightarrow a=5x,\;b=3x,\; x$$ – коефіцієнт пропорційності.
Для знаходження третьої сторони використовуємо теорему косинусів і значення косинуса 1200
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\widehat{a,b})$$
$$c^2=25x^2+9x^2-30x^2\cdot \left (-\frac{1}{2} \right )$$
$$c^2=49x^2\Rightarrow c=7x$$
За умовою периметр дорівнює 45 см, значить $$5x+3x+7x=45\Rightarrow x=3$$.
Тоді довжина третьої сторони дорівнює $$c=7\cdot3=21$$см.
Відповідь: 21 см.