Завдання 25
Петро, Микола та Василь уранці відвідали кафе і кожен із них замовив собі на сніданок бутерброд та гарячий напій. Відомо, що Василь не п’є чорного чаю, а Микола замовив собі бутерброд із шинкою.
Скориставшись таблицею, визначте, скільки грошей (у грн) буде коштувати Миколі, Василю і Петру разом найдешевше замовлення в цьому кафе.
| Страви | Ціна, грн |
| Бутерброд із сиром | 7.00 |
| Бутерброд із шинкою | 15.00 |
| Бутерброд із рибою | 17.00 |
| Кава з молоком | 13.00 |
| Кава | 12.00 |
| Чай чорний | 8.00 |
| Чай зелений | 9.00 |
Рішення
Складемо найдешевше замовлення:
Вася замовив зелений чай, а Петя і Коля – по чорному чаю. Коля замовив бутерброд із шинкою, а Вася і Петя – бутерброди із сиром.
$$9+2\cdot8+15+2\cdot7=54$$
Відповідь: 54.
Завдання 26
Скільки всього різних двоцифрових чисел можна утворити з цифр 1, 5, 7 і 8 так, щоб у кожному числі всі цифри не повторювалися?
Рішення
Першу цифру можна вибрати чотирма способами, а другу – трьома. Застосувавши правило множення, отримаємо: $$4\cdot3=12$$
Відповідь: 12.
Завдання 27
Розв’яжіть систему $$\left\{\begin{matrix} y + x = 3 \\ x^2 + 4 = 8y \end{matrix}\right.$$
Якщо пара $$(x_0;y_0)$$ є єдиним розв’язком цієї системи, то запишіть у відповідь добуток $$x_0\cdot y_0.$$ Якщо пари $$(x_1;y_1)$$ та $$(x_2;y_2)$$ є розв’язками цієї системи рівнянь, то запишіть у відповідь найменший із добутків $$x_1\cdot y_1$$ та $$x_2\cdot y_2$$.
Рішення
$$y=3-x$$
$$x^2+4=8(3-x)$$
$$x^2+8x-20=0$$
Коріння квадратного рівняння знайдемо за теоремою Вієта:
$$x_1\cdot x_2=-20;\;x_1+x_2=-8\Rightarrow x_1=-10;\; x_2=2$$
Тоді: $$y_1=13;\; y_2=1$$
Знайдемо добутки:
$$x_1\cdot y_1=-130;\;x_2\cdot y_2=2$$
Найменшим добутком є $$x_1\cdot y_1=-130$$
Відповідь: -130.
Завдання 28
Бісектриса кута $$A$$ прямокутника $$ABCD$$ перетинає його більшу сторону $$BC$$ в точці $$M$$. Визначте радіус кола (у см), описаного навколо прямокутника, якщо $$BC = 24$$ см, $$AM = 10\sqrt{2}$$ см.
Рішення
$$AM$$ – бісектриса прямого кута, отже $$ABM$$ – прямокутний рівнобедрений трикутник, т.е. $$AB=BM$$.
З визначення тригонометричних функцій і таблиці значень деяких кутів:
$$AB=BM=AM\cdot\cos45^{\circ}=10\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=10$$
Опустимо перпендикуляри із середин сторін прямокутника на протилежні сторони. Вони перетнуться в точці $$O$$, яка є центром описаного кола. Знайдемо радіус даного кола (розглянемо прямокутник зі сторонами 12 см і 5 см; $$OB$$ є діагоналлю отриманого прямокутника і радіусом описаного кола; знайдемо $$OB$$ за теоремою Піфагора з прямокутного трикутника, що має катети з довжинами 12 см і 5 см):
$$R=OB=\sqrt{144+25}=13$$
Відповідь: 13.