Завдання 25

На рисунку зображено ескіз графіка функції $$y=ax^2+bx+c.$$

Укажіть правильне твердження щодо коефіцієнтів $$a, b, c.$$

АБВГД
$$\left\{\begin{matrix} a<0,\\ b<0, \\ c=0. \end{matrix}\right.$$$$\left\{\begin{matrix} a>0,\\ b<0, \\ c>0. \end{matrix}\right.$$$$\left\{\begin{matrix} a>0,\\ b>0, \\ c=0. \end{matrix}\right.$$$$\left\{\begin{matrix} a<0,\\ b>0, \\ c<0. \end{matrix}\right.$$$$\left\{\begin{matrix} a<0,\\ b>0, \\ c=0. \end{matrix}\right.$$

Рішення

$$y=ax^2+bx+c$$ – парабола.

При $$a>0$$ гілки параболи спрямовані вгору, при $$a<0$$ – вниз.

Оскільки гілки нашої параболи спрямовані вниз, то $$a<0$$

Якщо $$a$$ та $$b$$ з однаковими знаками, то вершина параболи розташована в лівій півплощині; якщо знаки різні, то в правій півплощині.

Оскільки вершина розташована в правій півплощині та $$a<0,$$ то отримуємо $$b>0$$

$$c=y(0)$$

Одна з точок перетину $$(0;0),$$ тобто $$y(0)=0,$$ отже, $$c=0$$

Відповідь: Д.

Завдання 26

Установіть відповідність між числом (1-4) та множиною, до якої воно належить (А-Д).

1 $$-8$$Амножина парних натуральних чисел
2 23Бмножина цілих чисел, що не є натуральними числами
3 $$\sqrt{16}$$Вмножина раціональних чисел, що не є цілими числами
4 1.7Гмножина ірраціональних чисел
Дмножина простих чисел

Рішення

$$-8$$ – ціле, але не натуральне

23 – просте число

$$\sqrt{16}=4$$ – парне натуральне число

1.7 – раціональне дробове число

Відповідь: 1-Б, 2-Д, 3-А, 4-В.

Завдання 27

Установіть відповідність між функціями, заданими формулами (1-4), та їхніми властивостями (А-Д).

1 $$y=x^3$$Аобластю визначення функції є проміжок $$[0;\infty)$$
2 $$y=\cos x$$Бфункція спадає на інтервалі $$(0;\infty)$$
3 $$y=\text{tg}\, x$$Вфункція зростає на інтервалі $$(-\infty;\infty)$$
4 $$y=\log_{0.2} x$$Гпарна функція
Дперіодична функція з найменшим періодом $$T=\pi$$

Рішення

$$y=x^3$$ – зростає на інтервалі $$(-\infty;\infty)$$

$$y=\cos x$$ – періодична парна функція

$$y=\text{tg}\, x$$ – періодична з найменшим періодом $$T=\pi$$

$$y=\log_{0.2} x$$ – (основа менша за одиницю) убуває на інтервалі $$(0;\infty)$$

Відповідь: 1-В, 2-Г, 3-Д, 4-Б.

Завдання 28

На рисунку зображено прямокутну систему координат у просторі, на осях якої позначено точки $$K,L,M,N.$$ Установіть відповідність між точками $$K,L,M,N$$ (1-4) та їхніми можливими координатами (А-Д).

1 $$K$$А$$(-3;0;0)$$
2 $$L$$Б $$(0;-3;0)$$
3 $$M$$В $$(0;0;-3)$$
4 $$N$$Г $$(0;0;3)$$
Д $$(0;3;0)$$

Рішення

Координати записуються таким чином: $$(x;y;z)$$

$$K(0;-3;0), L(0;0;3), M(-3;0;0), N(0;3;0)$$

Відповідь: 1-Б, 2-Г, 3-А, 4-Д.

Завдання 29

Знайдіть значення виразу $$\frac{m+4}{m^2-6m+9}\cdot \frac{2m-6}{m^2-16}-\frac{2}{m-4},$$ якщо $$m=4.25.$$

Рішення

$$\frac{m+4}{(m-3)^2}\cdot \frac{2m-6}{(m-4)(m+4)}-\frac{2}{m-4}=\frac{2}{(m-3)(m-4)}-\frac{2}{m-4}=$$

$$=\frac{2-2m+6}{(m-3)(m-4)}=\frac{2(4-m)}{(m-3)(m-4)}=\frac{2}{3-m}$$

підставимо $$m=4.25$$

$$\frac{2}{3-4.25}=-1.6$$

Відповідь: $$-1.6.$$

Завдання 30

Одним із мобільних операторів було запроваджено акцію “Довше розмовляєш – менше платиш” з такими умовами: плата за з’єднання відсутня; за першу хвилину розмови абонент сплачує 30 коп., а за кожну наступну хвилину розмови – на 3 коп. менше, ніж за попередню; плата за одинадцяту та всі наступні хвилини розмови не нараховується; умови дійсні для дзвінків абонентам усіх мобільних операторів країни.

Скільки за умовами акції коштуватиме абоненту цього мобільного оператора розмова тривалістю 8 хвилин (у грн)?

Рішення

Задача на арифметичну прогресію.

Скористаємося формулою суми перших $$n$$ членів арифметичної прогресії в такому вигляді:

$$S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n$$

У нашому випадку: $$a_{1}=30, d=-3, n=8$$

$$S_{8}=\frac{2\cdot30+(-3)(8-1)}{2}\cdot 8=156$$ (коп.)$$=1.56$$ (грн)

Відповідь: 1.56 грн.