Завдання 13

Спростіть вираз $$\left ( 1-\cos^2\alpha \right )\text{ctg}^2\alpha.$$

АБВГД
$$\cos^2\alpha$$ $$\sin2\alpha$$ $$\frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}$$$$\sin^2\alpha$$ $$\text{tg}^2\alpha$$

Рішення

$$\left ( 1-\cos^2\alpha \right )\text{ctg}^2\alpha=\sin^2\alpha\cdot \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\cos^2\alpha$$

Відповідь: А.

Завдання 14

Обчисліть площу сфери, діаметр якої дорівнює 12 см.

АБВГД
$$36\pi$$ см2$$72\pi$$ см2$$144\pi$$ см2$$288\pi$$ см2$$576\pi$$ см2

Рішення

$$S=4\pi R^2=4\pi \cdot 6^2=144\pi$$

Відповідь: В.

Завдання 15

Пасічник зберігає мед в однакових закритих бідонах. Їх у нього дванадцять: у трьох бідонах міститься квітковий мед, у чотирьох – мед із липи, у п’яти – мед із гречки. Знайдіть імовірність того, що перший навмання відкритий бідон буде містити квітковий мед.

АБВГД
$$\frac{1}{4}$$$$\frac{5}{12}$$$$\frac{1}{12}$$ $$\frac{3}{4}$$$$\frac{1}{3}$$

Рішення

$$P=\frac{m}{n},$$ де $$m$$ – число сприятливих подій, $$n$$ – число всіляких подій.

У нашому випадку: $$n=12, m=3\Rightarrow P=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$$

Відповідь: А.

Завдання 16

На папері у клітинку зображено трикутник $$ABC$$ вершини якого збігаються з вершинами клітинок (див. рисунок). Знайдіть площу трикутника $$ABC,$$ якщо кожна клітинка є квадратом зі стороною завдовжки 1 см.

АБВГД
15 см2 8.5 см2 8 см27.5 см2 7 см2

Рішення

$$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_{a}$$

$$a=AC=3, h_{a}=BK=5\Rightarrow S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 5=7.5$$

Відповідь: Г.

Завдання 17

Знайдіть значення похідної функції $$f(x)=4\cos x+5$$ у точці $$x_{0}=\frac{\pi}{2}.$$

АБВГД
-4-1145

Рішення

$$f^{\prime}(x)=-4\sin x\Rightarrow f^{\prime}(\frac{\pi}{2})=-4\sin \frac{\pi}{2}=-4\cdot 1=-4$$

Відповідь: А.

Завдання 18

Довжина кола основи конуса дорівнює $$8\pi$$ см. Знайдіть довжину твірної конуса, якщо його висота дорівнює 3 см.

АБВГД
11 см10 см7 см5 см4 см

Рішення

Довжина окружності: $$C=2\pi R$$

$$2\pi R=8\pi\Rightarrow R=4$$

Висота конуса $$H=3$$

Розглянемо прямокутний трикутник $$\bigtriangleup AOS:\angle O=90^{\circ}$$

Знайдемо твірну конуса. Для цього скористаємося теоремою Піфагора.

$$AS^2=SO^2+AO^2=H^2+R^2=9+16=25\Rightarrow AS=5$$

Відповідь: Г.