Завдання. Розв’язати тригонометричне рівняння

Завдання

Розв’язати рівняння $$\sin x\cdot \cos 2x=1$$.

Рішення

$$\sin x (1-2\sin^2 x)=1$$

Розкриємо дужки, перенесемо все в лівий бік і зробимо заміну $$\sin x=t$$, $$|t|\leqslant 1$$

$$2t^3-t+1=0$$ – рівняння з цілими коефіцієнтами

$$t=-1$$ – корінь, оскільки $$2\cdot(-1)^3-(-1)+1=0$$

Використовуючи схему Горнера, розкладемо на множники: $$(t+1)(2t^2-2t+1)=0$$

$$2t^2-2t+1=0$$

$$D_1=(-1)^2-2\cdot1=-1$$ – дійсних коренів немає.

Значить $$t=-1$$ – єдиний корінь.

Зворотна заміна: $$\sin x=-1$$ – окремий випадок найпростішого тригонометричного рівняння.

$$x=-\frac{\Pi}{2}+2\Pi k$$, $$k\in \mathbb{Z}$$

Відповідь: $$-\frac{\Pi}{2}+2\Pi k$$, $$k\in \mathbb{Z}$$.