Формули перетворення суми (різниці) тригонометричних функцій на добуток

Різні кути

Сума синусів є подвоєний добуток синуса напівсуми на косинус напіврізниці:

$$\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$

Різниця синусів є подвоєний добуток синуса напіврізниці на косинус напівсуми:

$$\sin x-\sin y=2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$$

Сума косинусів є подвоєний добуток косинуса напівсуми на косинус напіврізниці:

$$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$

Різниця синусів є подвоєний добуток синуса напівсуми на синус напіврізниці, взятий зі знаком мінус:

$$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$$

Сума тангенсів є відношення синуса суми до добутку косинусів:

$$\text{tg} x+\text{tg} y=\frac{\sin(x+y)}{\cos x\cos y}$$

Різниця тангенсів є відношення синуса різниці до добутку косинусів:

$$\text{tg} x-\text{tg} y=\frac{\sin(x-y)}{\cos x\cos y}$$

Сума котангенсів є відношення синуса суми до добутку синусів:

$$\text{ctg} x+\text{ctg} y=\frac{\sin(y+x)}{\sin x\sin y}$$

Різниця котангенсів є відношення синуса різниці першого кута від другого до добутку синусів:

$$\text{ctg} x-\text{ctg} y=\frac{\sin(y-x)}{\sin x\sin y}$$

Один кут

Сума косинуса та синуса:

$$\cos\alpha+\sin\alpha=\sqrt{2}\cos\left (\frac{\pi}{4}-\alpha \right )$$

Різниця косинуса та синуса:

$$\cos\alpha-\sin\alpha=\sqrt{2}\sin\left (\frac{\pi}{4}-\alpha \right )$$

Сума тангенсу та котангенсу:

$$\text{tg}\alpha+\text{ctg}\alpha=\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{2}{\sin2\alpha}$$

З коефіцієнтами $$a$$ та $$b$$

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\phi),\;\text{tg}\phi=\frac{b}{a}$$

$$b+a\text{tg}x=\frac{a\sin x+b\cos x}{\cos x}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\phi)}{\cos x}$$

$$a+b\text{ctg}x=\frac{a\sin x+b\cos x}{\sin x}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\phi)}{\sin x}$$

$$\sin\phi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},$$ $$\cos\phi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$