Завдання. Розв’язати задачу з ЄДЕ. B12 №27970

Завдання

Для отримання на екрані збільшеного зображення лампочки в лабораторії використовується збиральна лінза з головною фокусною відстанню f = 30 см. Відстань $$d_1$$ від лінзи до лампочки може змінюватися в межах від 30 до 50 см, а відстань $$d_2$$ від лінзи до екрана – в межах від 150 до 180 см. Зображення на екрані буде чітким, якщо виконано співвідношення $$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$$. Укажіть, на якій найменшій відстані від лінзи можна помістити лампочку, щоб її зображення на екрані було чітким. Відповідь виразіть у сантиметрах.

Рішення

Оскільки фокусна відстань $$f=30$$ см, то

$$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{30}$$ або $$\frac{1}{d_1}=\frac{1}{30}-\frac{1}{d_2}$$

Найменшій можливій відстані від лінзи до лампочки, тобто значенню $$d_1\in[30;50]$$, відповідає найбільше значення лівої частини отриманої рівності, і, відповідно, найбільше можливе значення правої частини цієї ж рівності.

Різниця $$\frac{1}{30}-\frac{1}{d_2}$$ буде найбільшою при найменшому значенні від’ємника $$\frac{1}{d_2}$$, яке, своєю чергою, досягається за найбільшого можливого значення знаменника $$d_2\in[150;180]$$.

Значить $$d_2=180$$ см. Підставимо його в нашу рівність

$$\frac{1}{d_1}=\frac{1}{30}-\frac{1}{180}$$

Приведемо праву частину рівності до спільного знаменника $$\text{НСК}(30; 180) = 180$$

$$\frac{1}{d_1}=\frac{5}{180}$$

Виразимо $$d_1$$ із пропорції

$$d_1=\frac{180}{5}=36$$ (см)

$${d_1}_{min}=36 \in[30;50]$$.

Відповідь: 36 см.