Завдання 13

Укажіть, скільки можна скласти різних правильних дробів, чисельниками й знаменниками яких є числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

АБВГД
285670112інша відповідь

Рішення

Правильним називається той дріб, у якого модуль чисельника менший за модуль знаменника.

Якщо в чисельнику буде число 2, то в знаменнику можуть бути числа: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – 7 правильних дробів.

Для числа 3 – 6 правильних дробів (у знаменниках: 4, 5, 6, 7, 8, 9), тобто на 1 дріб менше.

Аналогічно для числа 4 – 5, для 5 – 4, для 6 – 3, для 7 – 2 та для 8 – 1 правильний дріб.

Отримали арифметичну прогресію ($$a_{1}=7, a_{7}=1, n=7$$). Знайдемо суму семи перших членів цієї прогресії:

$$7+6+5+4+3+2+1=\frac{7+1}{2}\cdot 7=28$$

Відповідь: А.

Завдання 14

Розв’яжіть нерівність $$\log_{0.5}{5}<\log_{0.5}{x}$$

АБВГД
$$(-5;0)$$$$(0;5)$$$$(5;\infty)$$$$(0.5;5)$$$$(-\infty;5)$$

Рішення

ОДЗ: $$x>0$$

$$\log_{0.5}x$$ – спадна функція, тому що основа логарифма $$0<0.5<1$$ $$\log_{0.5}5<\log_{0.5}x\Rightarrow 5>x$$

З урахуванням ОДЗ отримали: $$0<x<5$$

Відповідь: Б.

Завдання 15

Укажіть корінь рівняння $$|x^2-6x|=9$$, який належить проміжку $$(-2;1]$$

АБВГД
$$3-3\sqrt{2}$$$$3-\sqrt{2}$$$$1$$$$2$$$$4-2\sqrt{2}$$

Рішення

Перетворимо модуль: $$|x^2-6x|=|x\cdot(x-6)|=|x|\cdot|x-6|$$, тоді рівняння перепишемо в такому вигляді: $$|x|\cdot|x-6|=9$$

Знайдемо значення змінної, де зануляється кожен із модулів: $$x=0, x=6$$.

Числова вісь розбивається на три проміжки: $$x<0, 0\leqslant x<6, x\geqslant 6$$ Враховуючи умову, розкриємо модулі на двох проміжках: при $$x \in (-2;0)$$ та $$x \in [0;1]$$ I. $$x \in (-2;0)$$

$$|x|\cdot|x-6|=9\Rightarrow -x\cdot(-x+6)=9\Rightarrow x^2-6x-9=0$$

Скористаємося формулою дискримінанта для парного $$b=2k$$

$$D_{1}=k^2-ac, a=1, k=-3, c=-9\Rightarrow D_{1}=9+9=18, \sqrt{D_{1}}=3\sqrt{2}$$

$$x_{1,2}=\frac{-k\pm \sqrt{D_{1}}}{a}$$

$$x_{1}=\frac{3+ 3\sqrt{2}}{1}=3+3\sqrt{2}\notin (-2;0)$$ – не корінь.

$$x_{2}=3-3\sqrt{2}\in (-2;0)$$ – корінь.

II. $$x \in [0;1]$$

$$|x|\cdot|x-6|=9\Rightarrow x\cdot(-x+6)=9\Rightarrow$$

$$\Rightarrow -x^2+6x-9=0\Rightarrow x^2-6x+9=0\Rightarrow (x-3)^2=0\Rightarrow x=3\notin[0;1]$$ – не корінь.

Відповідь: А.

Завдання 16

Розв’яжіть рівняння: $$3^x=\frac{2\sqrt{3}}{6}$$

АБВГД
рівняння не має коренів$$x=-1$$$$x=-0.5$$$$x=0.5$$$$x=1$$

Рішення

$$3^x=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow 3^x=3^{-\frac{1}{2}}\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$$

Відповідь: В.

Завдання 17

Укажіть область значень функції $$y=\sqrt{x^2+9}-6$$

АБВГД
$$[9;\infty)$$$$[0;\infty)$$$$[3;\infty)$$$$[-3;\infty)$$$$(-\infty;\infty)$$

Рішення

$$x^2\geqslant 0\Rightarrow \sqrt{x^2+9}\geqslant 3\Rightarrow \sqrt{x^2+9}-6\geqslant-3$$

Відповідь: Г.

Завдання 18

На рисунку зображено графіки функцій $$g(x)=\sqrt{4-x}$$ і $$f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{x+8}$$. Укажіть проміжок, на якому виконується нерівність $$f(x)\leqslant g(x)$$.

АБВГД
$$(-\infty;0]$$$$[-8;\infty)$$$$[0;\infty)$$$$[0;4]$$$$[-8;0]$$

Рішення

$$D(f): x\in [-8;\infty)$$

$$D(g): x\in (-\infty;4]$$

Розв’язком нерівності буде той проміжок, де графік функції $$g(x)$$ вище графіка функції $$f(x)$$, т.е. $$[-8;0]$$

Відповідь: Д.