Завдання 7

Укажіть правильну нерівність, якщо $$a=5\sqrt{2}, b=7, c=\sqrt{51}$$

АБВГД
$$b<a<c$$$$a<b<c$$$$c<a<b$$$$a<c<b$$$$b<c<a$$

Рішення

$$a=5\sqrt{2}=\sqrt{50}, b=7=\sqrt{49}, c=\sqrt{51}$$

$$49<50<51\Rightarrow \sqrt{49}<\sqrt{50}<\sqrt{51}\Rightarrow b<a<c$$

Відповідь: А.

Завдання 8

Знайдіть значення виразу $$\cos^4\frac{\pi}{12}-\sin^4\frac{\pi}{12}$$

АБВГД
$$1$$$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$\frac{1}{2}$$$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$інша відповідь

Рішення

$$\cos^4\frac{\pi}{12}-\sin^4\frac{\pi}{12}=(\cos^2\frac{\pi}{12}-\sin^2\frac{\pi}{12})(\cos^2\frac{\pi}{12}+\sin^2\frac{\pi}{12})=\cos \frac{\pi}{6}\cdot1=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Відповідь: Б.

Завдання 9

Знайдіть найменший додатний період функції $$y=2\cdot ctg 3x$$

АБВГД
$$2\pi$$$$\pi$$$$\frac{\pi}{3}$$$$\frac{2\pi}{3}$$$$\frac{\pi}{2}$$

Рішення

$$ctg(x+k\pi)=ctg x, k\in \mathbb{Z}, \pi$$ – найменший додатний період функції $$ctg x$$.

$$ctg 3x=ctg(3x+k\pi)=ctg 3(x+\frac{k\pi}{3}), k\in \mathbb{Z}, \frac{\pi}{3}$$ – найменший додатний період функції $$y=2\cdot ctg 3x$$.

Відповідь: В.

Завдання 10

На рисунку зображено точку, через яку проходить графік функції $$y=f(x)$$. Укажіть функцію $$f(x)$$.

АБВГД
$$f(x)=-x$$$$f(x)=\sqrt{x}$$$$f(x)=\log_{2}x$$$$f(x)=x^3$$$$f(x)=3^{-x}$$

Рішення

З графіка видно, що точка лежить у II півплощині, тобто. $$x$$ набуває від’ємного значення, а $$y$$ – позитивного.

$$f(x)=\sqrt{x}$$, $$f(x)=\log_{2}x$$ не підходять, тому що для цих функцій $$x$$ не може бути негативним.

$$f(x)=x^3$$ не підходить, оскільки ця функція є непарною і від’ємному значенню змінної має відповідати від’ємне значення функції.

$$f(x)=-x$$ не підходить, тому що функція повинна приймати значення змінної з протилежним знаком (з графіка видно, що значення функції в кілька разів більше).

Залишається функція $$f(x)=3^{-x}=\frac{1}{3^x}=\left (\frac{1}{3} \right )^x$$ – спадна функція (показникова функція з основою між нулем і одиницею), яка і є відповіддю (наприклад, $$x=-1\Rightarrow y=3$$).

Відповідь: Д.

Завдання 11

Розв’яжіть рівняння $$\sin x-\sqrt{3}\cos x=0$$

АБВГД
$$-\frac{\pi}{6}+\pi n, n\in \mathbb{Z}$$$$-\frac{\pi}{3}+\pi n, n\in \mathbb{Z}$$$$\frac{\pi}{6}+\pi n, n\in \mathbb{Z}$$$$\frac{\pi}{3}+\pi n, n\in \mathbb{Z}$$$$\frac{\pi}{2}+\pi n, n\in \mathbb{Z}$$

Рішення

Згадаймо формулу:

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\phi), tg\phi=\frac{b}{a}$$

У нашому випадку:

$$a=1, b=-\sqrt{3}\Rightarrow \sin x-\sqrt{3}\cos x=\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}\sin(x+\phi)$$

$$tg\phi=-\sqrt{3}\Rightarrow \phi=arctg(-\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3}$$

Отже, $$\sin x-\sqrt{3}\cos x=2\sin(x-\frac{\pi}{3})$$

Отримали рівняння:

$$2\sin(x-\frac{\pi}{3})=0$$

$$\sin(x-\frac{\pi}{3})=0$$

Згадаймо формулу (окремий випадок):

$$\sin x=0\Rightarrow x=\pi n, n\in \mathbb{Z}$$

У нашому випадку:

$$x-\frac{\pi}{3}=\pi n, n\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+\pi n, n\in \mathbb{Z}$$

Відповідь: Г.

Завдання 12

Обчисліть $$\log_{a}\sqrt{ab}$$, якщо $$\log_{a}b=7$$

АБВГД
$$\frac{2}{3}$$$$2$$$$3$$$$\frac{7}{2}$$$$4$$

Рішення

$$\log_{a}\sqrt{ab}=\log_{a}\left (ab \right )^\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\log_{a}ab=\frac{1}{2}\cdot\left (\log_{a}a+\log_{a}b \right )=\frac{1}{2}\cdot\left ( 1+7 \right )=4$$

Відповідь: Д.