Раціональні корені многочлена з цілими коефіцієнтами

Теорема

Якщо многочлен $$\text{P}_{n}(x)=\text{a}_{n}x^n+\text{a}_{n-1}x^{n-1}+$$…$$+\text{a}_{2}x^2+\text{a}_{1}x+\text{a}_0$$ з цілими коефіцієнтами має раціональний корінь $$x_0=\frac{p}{q},$$ то число $$p$$ є дільником числа $$\text{a}_{0}$$ (вільного члена), а число $$q$$ є дільником числа $$\text{a}_n$$ (старшого коефіцієнта).

Приклад

Знайти раціональні корені многочлена $$4x^4-16x^3+3x^2+4x-1=0.$$

Рішення

Раціональні корені рівняння, якщо вони є, знаходяться серед чисел: $$\pm\frac{1}{2};\pm\frac{1}{4}.$$

Залишилося лише перевірити підстановкою у вихідне рівняння:

$$P(\frac{1}{2})=4\cdot(\frac{1}{2})^4-16\cdot(\frac{1}{2})^3+3\cdot(\frac{1}{2})^2+4\cdot\frac{1}{2}-1=\frac{1}{4}-2+\frac{3}{4}+2-1=0$$

$$P(-\frac{1}{2})=4\cdot(-\frac{1}{2})^4-16\cdot(-\frac{1}{2})^3+3\cdot(-\frac{1}{2})^2-4\cdot\frac{1}{2}-1=\frac{1}{4}+2+\frac{3}{4}-2-1=0$$

$$P(\frac{1}{4})=4\cdot(\frac{1}{4})^4-16\cdot(\frac{1}{4})^3+3\cdot(\frac{1}{4})^2+4\cdot\frac{1}{4}-1=\frac{1}{64}-\frac{1}{4}+\frac{3}{16}+1-1\neq0$$

$$P(-\frac{1}{4})=4\cdot(-\frac{1}{4})^4-16\cdot(-\frac{1}{4})^3+3\cdot(-\frac{1}{4})^2-4\cdot\frac{1}{4}-1\neq0$$

Отже, знайшли два раціональних корені $$x_1=\frac{1}{2}$$ та $$x_2=-\frac{1}{2}$$

Відповідь: $$\pm\frac{1}{2}$$