Завдання. Розв’язати задачу з посібника О.М. Роганіна. Тест 4. №35

Пропонуємо геометричну задачу, взяту з посібника “Алгебра і початки аналізу: навч. посіб. / О.М. Роганін. – К. – Х.: Веста, 2011. – 256 с. – (Серія “Ґрунтовна підготовка до ЗНО і ДПА за 50 тижнів”).
ISBN 978-966-08-5721-6″

Задача

Відрізок KM довжиною 8.25 см сполучає сторони АС і ВС трикутника АВС, паралельний стороні АВ і проходить через центр вписаного в трикутник кола. Знайдіть периметр (у см) чотирикутника АВМК, якщо АВ = 11 см.

Рішення

Нехай $$O$$ – центр вписаної в трикутник окружності, $$D, E$$ та $$F$$ – точки дотику окружності відповідно сторін $$AB, AC$$ та $$BC$$.

Периметр чотирикутника $$ABMK$$ – сума всіх його сторін

$$P_{ABMK}=AB+BM+KM+AK=$$

Підставимо відомі величини й виразимо $$BM$$ та $$AK$$ відповідно через $$BM, MF$$ та $$AE, KE$$

$$=11+(BF-MF)+8.25+(AE-KE)=$$

Через те, що $$BF = BD$$ та $$AE = AD,$$ то

$$=19.25+(BD-MF)+(AD-KE)=$$

Перегрупуємо

$$=19.25+(AD+BD)-(MF+KE)=$$

$$=19.25+AB-(MF+KE)=30.25-(MF+KE)=$$

З точок $$K$$ та $$M$$ опустимо перпендикуляри на сторону $$AB$$, тобто $$KG\perp AB,\;MH\perp AB.$$

$$\triangle OKE=\triangle KAG,\;\triangle OMF=\triangle MBH:$$ $$KE=AG,\;MF=BH$$

$$=30.25-(AG+BH)=30.25-(AB-KM)=30.25-(11-8.25)=27.5$$

Отримали $$P_{ABMK}=27.5$$ (см)

Відповідь: $$27.5$$ см.