Завдання
Для отримання на екрані збільшеного зображення лампочки в лабораторії використовується збиральна лінза з головною фокусною відстанню f = 30 см. Відстань $$d_1$$ від лінзи до лампочки може змінюватися в межах від 30 до 50 см, а відстань $$d_2$$ від лінзи до екрана – в межах від 150 до 180 см. Зображення на екрані буде чітким, якщо виконано співвідношення $$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$$. Укажіть, на якій найменшій відстані від лінзи можна помістити лампочку, щоб її зображення на екрані було чітким. Відповідь виразіть у сантиметрах.
Рішення
Оскільки фокусна відстань $$f=30$$ см, то
$$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{30}$$ або $$\frac{1}{d_1}=\frac{1}{30}-\frac{1}{d_2}$$
Найменшій можливій відстані від лінзи до лампочки, тобто значенню $$d_1\in[30;50]$$, відповідає найбільше значення лівої частини отриманої рівності, і, відповідно, найбільше можливе значення правої частини цієї ж рівності.
Різниця $$\frac{1}{30}-\frac{1}{d_2}$$ буде найбільшою при найменшому значенні від’ємника $$\frac{1}{d_2}$$, яке, своєю чергою, досягається за найбільшого можливого значення знаменника $$d_2\in[150;180]$$.
Значить $$d_2=180$$ см. Підставимо його в нашу рівність
$$\frac{1}{d_1}=\frac{1}{30}-\frac{1}{180}$$
Приведемо праву частину рівності до спільного знаменника $$\text{НСК}(30; 180) = 180$$
$$\frac{1}{d_1}=\frac{5}{180}$$
Виразимо $$d_1$$ із пропорції
$$d_1=\frac{180}{5}=36$$ (см)
$${d_1}_{min}=36 \in[30;50]$$.
Відповідь: 36 см.