Завдання. Спростити вираз та знайти його значення

Завдання

Спростити вираз $$\frac{x^3y-xy^3+y^3z-yz^3+z^3x-zx^3}{x^2y-xy^2+y^2z-yz^2+z^2x-zx^2}$$ і знайти його значення, якщо $$x=1,$$ $$y=0.1,$$ $$z=0.01.$$

Рішення

Перетворення чисельника

Розглянемо чисельник дробу $$x^3y-xy^3+y^3z-yz^3+z^3x-zx^3$$

Перетворимо його. Спочатку впорядкуємо многочлен за ступенями змінної $$x$$

$$x^3y-xy^3+y^3z-yz^3+z^3x-zx^3=x^3y-zx^3-xy^3+z^3x+y^3z-yz^3=$$

Винесемо спільні множники за дужки

$$=x^3(y-z)-x(y^3-z^3)+yz(y^2-z^2)=$$

Скористаємося формулами різниці кубів і різниці квадратів

$$=x^3(y-z)-x(y-z)(y^2+z^2+yz)+yz(y-z)(y+z)=$$

Винесемо спільний множник за дужки

$$=(y-z)[x^3-x(y^2+z^2+yz)+yz(y+z)]=$$

$$=(y-z)[x^3-xy^2-xz^2-xyz+y^2z+yz^2]=$$

У другій дужці впорядкуємо за ступенями змінної $$y$$

$$=(y-z)[y^2z-xy^2+yz^2-xyz+x^3-xz^2]=$$

Винесемо спільні множники у квадратних дужках

$$=(y-z)[y^2(z-x)+yz(z-x)-x(z^2-x^2)]=$$

Скористаємося формулою різниці квадратів і винесемо спільні множники за дужки

$$=(y-z)(z-x)[y^2+yz-x(z+x)]=$$

$$=(y-z)(z-x)[y^2+yz-xz-x^2]=$$

Перегрупуємо одночлени у квадратних дужках

$$=(y-z)(z-x)[y^2-x^2+yz-xz]=$$

Скористаємося формулою різниці квадратів і винесемо спільні множники за дужки

$$=(y-z)(z-x)[(y-x)(y+x)+z(y-x)]=(y-z)(z-x)(y-x)(x+y+z)$$

Перетворення знаменника

Тепер перетворимо знаменник дробу $$x^2y-xy^2+y^2z-yz^2+z^2x-zx^2.$$ Для цього додамо і віднімемо одночлен $$xyz.$$

$$x^2y-xy^2+y^2z-xyz+xyz-yz^2+z^2x-zx^2=$$

$$=(x^2y-xy^2+y^2z-xyz)+(xyz-yz^2+z^2x-zx^2)=$$

Винесемо спільні множники за дужки

$$y(x^2-xy+yz-xz)-z(-xy+yz-zx+x^2)=$$

Очевидно, у дужках однакові поліноми. Винесемо їх за дужки

$$(x^2-xy+yz-xz)(y-z)=$$

Згрупуємо і винесемо спільні множники за дужки

$$[x(x-y)-z(x-y)](y-z)=(x-y)(x-z)(y-z)$$

Спрощення дробу та знаходження значення виразу

Отже, після перетворення чисельника і знаменника дробу, отримаємо

$$\frac{(y-z)(z-x)(y-x)(x+y+z)}{(x-y)(x-z)(y-z)}=\frac{(x-y)(x-z)(y-z)(x+y+z)}{(x-y)(x-z)(y-z)}=(x+y+z)$$

Підставимо значення змінних і отримаємо

$$1+0.1+0.01=1.11$$

Відповідь: $$1.11$$