Завдання. Розв’язати текстову задачу на рух (залізницею)

Задача

Поїзд мав проїхати 64 км. Коли він проїхав 24 км, то був затриманий на 12 хвилин біля семафора. Тоді машиніст поїзда збільшив швидкість на 10 км/год, і поїзд прибув у пункт призначення із запізненням на 4 хвилини. Знайти початкову швидкість поїзда.

Рішення

Відстань $$S$$ дорівнює 64 км. Початкова швидкість дорівнює $$v$$ км/год. Запланований час дорівнює $$t$$ годин (поїзд рухається без зупинок із постійною швидкістю).

Поїзд проїхав до зупинки 24 км із початковою швидкістю, тобто $$S_1=24,\;v_1=v$$. Тоді час до зупинки поїзда дорівнює $$t_1=\frac{S_1}{v_1}=\frac{24}{v}$$, $$v\gt0$$. На зупинці поїзд затримався на 12 хвилин, тобто на $$\frac{12}{60}=0.2$$ години. Після зупинки машиніст збільшив швидкість на 10 км/год і поїзд прибув до пункту призначення. Значить

$$S_2=S-S_1=64-24=40$$ (км)

$$v_2=v+10$$ (км/год)

$$t_2=\frac{S_2}{v_2}=\frac{40}{v+10}$$ (год)

Час у дорозі дорівнює $$t_1+0.2+t_2$$

Знайдемо запланований час, враховуючи той факт, що поїзд запізнився на 4 хвилини, тобто на $$\frac{4}{60}=\frac{1}{15}$$ години

$$t=t_1+0.2+t_2-\frac{1}{15}=\frac{24}{v}+0.2+\frac{40}{v+10}-\frac{1}{15}$$

Оскільки відстань дорівнює добутку часу і швидкості, то складемо рівняння

$$64=\left (\frac{24}{v}+0.2+\frac{40}{v+10}-\frac{1}{15} \right )\cdot v$$

$$\left ( \frac{24}{v}+\frac{40}{v+10}+\frac{2}{15} \right )\cdot v-64=0$$

Після перетворень отримаємо

$$\frac{2}{15}\cdot\frac{v^2+10v-3000}{v+10}=0$$

Скоротимо на $$\frac{2}{15}$$ і розкладемо квадратний тричлен на множники (корені знаходяться за теоремою Вієта)

$$\frac{(v+60)(v-50)}{v+10}=0$$

$$v\neq10$$, $$v=-60$$ (сторонній корінь), $$v=50$$

Відповідь: 50 км/год.