Задача
Поїзд мав проїхати 64 км. Коли він проїхав 24 км, то був затриманий на 12 хвилин біля семафора. Тоді машиніст поїзда збільшив швидкість на 10 км/год, і поїзд прибув у пункт призначення із запізненням на 4 хвилини. Знайти початкову швидкість поїзда.
Рішення
Відстань $$S$$ дорівнює 64 км. Початкова швидкість дорівнює $$v$$ км/год. Запланований час дорівнює $$t$$ годин (поїзд рухається без зупинок із постійною швидкістю).
Поїзд проїхав до зупинки 24 км із початковою швидкістю, тобто $$S_1=24,\;v_1=v$$. Тоді час до зупинки поїзда дорівнює $$t_1=\frac{S_1}{v_1}=\frac{24}{v}$$, $$v\gt0$$. На зупинці поїзд затримався на 12 хвилин, тобто на $$\frac{12}{60}=0.2$$ години. Після зупинки машиніст збільшив швидкість на 10 км/год і поїзд прибув до пункту призначення. Значить
$$S_2=S-S_1=64-24=40$$ (км)
$$v_2=v+10$$ (км/год)
$$t_2=\frac{S_2}{v_2}=\frac{40}{v+10}$$ (год)
Час у дорозі дорівнює $$t_1+0.2+t_2$$
Знайдемо запланований час, враховуючи той факт, що поїзд запізнився на 4 хвилини, тобто на $$\frac{4}{60}=\frac{1}{15}$$ години
$$t=t_1+0.2+t_2-\frac{1}{15}=\frac{24}{v}+0.2+\frac{40}{v+10}-\frac{1}{15}$$
Оскільки відстань дорівнює добутку часу і швидкості, то складемо рівняння
$$64=\left (\frac{24}{v}+0.2+\frac{40}{v+10}-\frac{1}{15} \right )\cdot v$$
$$\left ( \frac{24}{v}+\frac{40}{v+10}+\frac{2}{15} \right )\cdot v-64=0$$
Після перетворень отримаємо
$$\frac{2}{15}\cdot\frac{v^2+10v-3000}{v+10}=0$$
Скоротимо на $$\frac{2}{15}$$ і розкладемо квадратний тричлен на множники (корені знаходяться за теоремою Вієта)
$$\frac{(v+60)(v-50)}{v+10}=0$$
$$v\neq10$$, $$v=-60$$ (сторонній корінь), $$v=50$$
Відповідь: 50 км/год.