Ступені та корені. Їх властивості

Ступінь

$$a^x$$ називається ступенем з основою $$a$$ і показником $$x,$$ якщо $$a$$ перемножується саме на себе $$x$$ разів

Властивості ступенів:

    1. $$a^0=1\; \left (a\neq0 \right )$$

    2. $$a^1=a$$

    3. $$a^x\cdot a^y=a^{x+y} \; \left (x,y\in\mathbb{R} \right )$$

    4. $$\frac{a^x}{a^y} =a^{x-y}\; \left ( x,y\in\mathbb{R}, a\neq0 \right )$$

    5. $$(a^x)^y=a^{xy}\; \left ( x,y\in\mathbb{R} \right )$$

    6. $$(ab)^x=a^xb^x\; \left ( x\in\mathbb{R} \right )$$

    7. $$\left (\frac{a}{b} \right )^x=\frac{a^x}{b^x} \; \left ( x\in\mathbb{R} , b\neq0\right )$$

    8. $$a^{-x}=\frac{1}{a^x}\; \left ( x\in\mathbb{N} \right )$$

    Корінь

    Арифметичний корінь $$n$$-го ступеня $$\left (n>0 \right )$$ з числа $$a$$ — це таке число $$b,$$ що $$b^n=a.$$ Арифметичний корінь 2-го ступеня записується без зазначення ступеня та називається квадратним коренем. Арифметичний корінь 3-го ступеня називається кубічним коренем.

    Властивості коренів:

    Для будь-яких натуральних $$n > 1$$ та $$k > 1$$, для будь-яких невід’ємних $$a$$ та $$b:$$

    1. $$a^{\frac{k}{n}}=\sqrt[n]{a^k}$$

    2. $$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$$

    3. $$\left (\sqrt[n]{a} \right )^k=\sqrt[n]{a^k}$$

    4. $$\sqrt[n]{a}=\sqrt[nk]{a^k}$$

    5. $$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\; \left ( b\neq0 \right )$$

    6. $$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}$$

    7. $$\left (\sqrt[n]{a} \right )^n=a\; (a\geqslant 0)$$

    8. $$\sqrt{a^2}=|a|$$

    9. $$\sqrt[2n]{a^{2n}}=|a|$$

    10. $$\sqrt[2n+1]{-a}=-\sqrt[2n+1]{a}\; \left ( a\geqslant 0 \right )$$

    11. $$\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}\; \left ( 0\leqslant a < b\right )$$

    12. $$\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\; \left ( a>0, b>0, a^2>b \right )$$