1 Варіант

Пропонуємо Вашій увазі розв’язання першого варіанта підсумкової контрольної роботи з алгебри за 7 клас.

Частина 1

Завдання 1

Обчислити значення виразу $$\frac{(2^2)^3\cdot2^5}{2^9}.$$

А. 2

Б. 4

В. 1

Г. 8

Рішення

Використовуємо властивості ступенів

$$\frac{(2^2)^3\cdot2^5}{2^9}=2^{2\cdot3+5-9}=2^2=4$$

Відповідь: Б.

Завдання 2

Якому одночлену дорівнює вираз $$3ab^4\cdot(-2a^2b^3)?$$

А. $$-6a^3b^7$$

Б. $$6a^3b^7$$

В. $$-6a^2b^12$$

Г. $$6a^2b^12$$

Рішення

Використовуємо визначення одночлена та властивості ступенів

$$3ab^4\cdot(-2a^2b^3)=-2\cdot3\cdot a^{1+2}\cdot b^{4+3}=-6a^3b^7$$

Відповідь: А.

Завдання 3

Перетворити в многочлен вираз $$(a-5b)^2.$$

А. $$a^2-25b^2$$

Б. $$a^2-5ab+5b^2$$

В. $$a^2+2ab+25b^2$$

Г. $$a^2-10ab+25b^2$$

Рішення

Використовуємо формули скороченого множення

$$(a-5b)^2=a^2+(5b)^2-2\cdot a\cdot (5b)=a^2-10ab+25b^2$$

Відповідь: Г.

Завдання 4

Через яку з даних точок проходить графік рівняння $$5x+4y=20?$$

А. $$A(-4;0)$$

Б. $$B(3;1)$$

В. $$C(0;5)$$

Г. $$D(2;3)$$

Рішення

Перевіряємо точки підставлянням в рівняння.

$$5\cdot(-4)+4\cdot0=-20\neq20$$

$$5\cdot(3)+4\cdot1=19\neq20$$

$$5\cdot(0)+4\cdot5=20$$

$$5\cdot(2)+4\cdot3=22\neq20$$

Оскільки рівність $$5\cdot(0)+4\cdot5=20$$ вірна, графік рівняння $$5x+4y=20$$ проходить через точку $$C(0;5).$$

Відповідь: В.

Частина 2

Завдання 5

Розкласти многочлен на множники $$9a-27a^4.$$

Рішення

Використовуємо основні способи розкладання многочленів на множники

$$9a-27a^4=9a(1-3a^3)$$

Відповідь: $$9a(1-3a^3).$$

Завдання 6

Знайти корінь рівняння $$(x-4)(x-6)-(x-2)(x+2)=-2.$$

Рішення

Розкриємо перші дужки й застосуємо до других дужок формулу різниці квадратів

$$x^2-6x-4x+24-(x^2-4)=-2$$

$$x^2-6x-4x+24-x^2+4=-2$$

$$-10x+28=-2$$

$$-10x=-2-28$$

$$-10x=-30$$

$$x=3$$

Відповідь: 3.

Завдання 7

Розв’язати систему рівнянь $$\left\{\begin{matrix} x & + & y & = & 5\\ 3x & + & 2y & = & 11 \end{matrix}\right..$$

Рішення

$$\left\{\begin{matrix} x & + & y & = & 5 & (1)\\ 3x & + & 2y & = & 11 & (2)\end{matrix}\right.$$

З другого рівняння системи віднімемо перше, помножене на три: $$(2)-3\cdot(1)$$

$$3x-3x+2y-3y=11-15$$

$$-y=-4$$

$$y=4$$

Підставимо значення $$y=4$$ у перше рівняння системи й знайдемо $$x$$

$$x+4=5$$

$$x=1$$

Відповідь: $$(1;4).$$

Частина 3

Завдання 8

Побудуйте графік функції $$y=4-2x.$$ Користуючись побудованим графіком, установіть, за яких значень аргументу функція набуває від’ємних значень.

Рішення

$$y=4-2x$$ – лінійна функція. Графіком лінійної функції є пряма лінія. Пряму можна провести через дві точки. Складемо таблицю значень даної функції для двох довільних значень аргументу:

$$x$$02
$$y$$40

Проведемо пряму через отримані точки $$(0;4)$$ та $$(2;0).$$

Графік лінійної функції
$$y=4-2x$$

Функція $$y=4-2x$$ набуває від’ємних значень, коли її графік лежить нижче за вісь абсцис, тобто при $$x > 2.$$

Відповідь: при $$x > 2.$$

Завдання 9

Маса 2 злитків олова і 5 злитків свинцю становить 33 кг, а маса 6 злитків олова і 2 злитків свинцю – 34 кг. Визначити масу одного злитка олова й одного злитка свинцю.

Рішення

Нехай маса одного злитка олова дорівнює $$x$$ кг, а маса одного злитка свинцю — $$y$$ кг. Маса двох злитків олова і п’яти злитків свинцю становить $$(2x+5y)$$ кг, що за умовою дорівнює 33 кг. Отримали перше рівняння системи $$2x+5y=33.$$

Аналогічно складемо друге рівняння системи $$6x+2y=34.$$

Необхідно розв’язати систему двох рівнянь із двома невідомими $$\left\{\begin{matrix} 2x & + & 5y & = & 33\\ 6x & + & 2y & = & 34 \end{matrix}\right..$$

Помножимо перше рівняння системи на 3 і віднімемо його від другого:

$$6x-6x+2y-15y=34-99$$

$$-13y=-65$$

$$y=5$$

Отже, маса одного злитка свинцю дорівнює 5 кг.

Підставимо знайдене значення $$y=5$$ у перше рівняння системи і знайдемо $$x$$

$$2x+25=33$$

$$2x=8$$

$$x=4$$

Отже, маса одного злитка олова дорівнює 4 кг.

Відповідь: 4 кг; 5 кг.

Завдання 10

Яке найменше значення і за якого значення змінної приймає вираз $$x^2-4x-5?$$

Рішення

Виділимо повний квадрат, скориставшись формулами скороченого множення

$$x^2-4x-5=x^2-2\cdot2\cdot x+2^2-2^2-5=(x^2-2\cdot2\cdot x+2^2-2^2)-4-5=(x-2)^2-9$$

Оскільки вираз $$(x-2)^2$$ за будь-яких значень $$x$$ невід’ємно, тобто $$(x-2)^2\geqslant0$$ при $$x\in\mathbb{R},$$ то
$$(x-2)^2-9\geqslant-9,$$ причому найменше значення $$-9$$ цей вираз приймає при $$x=2.$$

Відповідь: $$-9$$ при $$x=2.$$