1 варіант

Пропонуємо розв’язання першого варіанта підсумкової контрольної роботи з алгебри для учнів восьмого класу.

Частина 1

Завдання 1

За якого значення змінної не існує вираз $$\frac{x-3}{x+7}?$$

А. 3

Б. $$-3$$

В. 7

Г. $$-7$$

Рішення

Вираз не існує, коли знаменник дробу обертається в нуль, тобто при $$x+7=3$$ або $$x=-7.$$

Відповідь: Г.

Завдання 2

Скоротіть дріб $$\frac{21x^8y^{12}}{14x^4y^{24}}.$$

А. $$\frac{3x^2}{2y^2}$$

Б. $$\frac{3x^4}{2y^{12}}$$

В. $$\frac{3x^2}{2y^{12}}$$

Г. $$\frac{3x^2}{4y^{12}}$$

Рішення

Використовуємо властивості ступенів

$$\frac{21x^8y^{12}}{14x^4y^{24}}=\frac{3x^{8-4}}{2y^{24-12}}=\frac{3x^4}{2y^{12}}$$

Відповідь: Б.

Завдання 3

Обчислити значення виразу $$\sqrt{0.09\cdot25}.$$

А. 15

Б. 0.15

В. 1.5

Г. 150

Рішення

Скористаємося властивістю коренів і ступенів

$$\sqrt{0.09\cdot25}=\sqrt{0.09}\cdot\sqrt{25}=\sqrt{(0.3)^2}\cdot\sqrt{5^2}=0.3\cdot5=1.5$$

Відповідь: В.

Завдання 4

Чому дорівнює сума коренів рівняння $$x^2-7x-14=0?$$

А. 7

Б. $$-7$$

В. 14

Г. $$-14$$

Рішення

Скористаємося теоремою Вієта для зведеного квадратного рівняння

$$x_1+x_2=7$$

$$x_1\cdot x_2=-14$$

Відповідь: А.

Частина 2

Завдання 5

Подайте у вигляді степеня вираз $$(a^{-2})^6:a^{-15}.$$

Рішення

Знову скористаємося властивістю ступенів

$$(a^{-2})^6:a^{-15}=a^{-2\cdot6-(-15)}=a^3$$

Відповідь: $$a^3.$$

Завдання 6

Спростити вираз $$\sqrt{16a}-\sqrt{64a}+\sqrt{100a}.$$

Рішення

У цьому завданні скористаємося властивостями коренів і степенів і приведемо подібні доданки

$$\sqrt{16a}-\sqrt{64a}+\sqrt{100a}=\sqrt{4^2}\sqrt{a}-\sqrt{8^2}\sqrt{a}+\sqrt{10^2}\sqrt{a}=4\sqrt{a}-8\sqrt{a}+10\sqrt{a}=6\sqrt{a}$$

Відповідь: $$6\sqrt{a}.$$

Завдання 7

Розв’язати рівняння $$2x^2-5x+2=0.$$

Рішення

Обчислимо дискримінант і скористаємося формулами коренів квадратного рівняння, якщо вони існують

$$D=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9=3^2$$

$$x_1=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}$$

$$x_2=\frac{5+3}{4}=2$$

Відповідь: $$\frac{1}{2}; 2.$$

Частина 3

Завдання 8

Спростити вираз $$(\frac{8a}{4-a^2}+\frac{2-a}{2+a}):\frac{2+a}{a}.$$

Рішення

Під час розв’язання скористаємося формулами скороченого множення

$$(\frac{8a}{4-a^2}+\frac{2-a}{2+a}):\frac{2+a}{a}=(\frac{8a}{(2-a)(2+a)+\frac{2-a}{2+a}})\cdot\frac{a}{2+a}=$$

Приведемо до спільного знаменника

$$=\frac{8a+(2-a)^2}{(2-a)(2+a)}\cdot\frac{a}{2+a}=\frac{(8a+4+a^2-4a)\cdot a}{(2-a)(2+a)^2}=\frac{(4+a^2+4a)\cdot a}{(2-a)(2+a)^2}=\frac{(2+a)^2\cdot a}{(2-a)(2+a)^2}=\frac{a}{2-a}$$

Відповідь: $$\frac{a}{2-a}.$$

Завдання 9

З одного міста в інше, відстань між якими дорівнює 300 км, виїхали одночасно дві машини. Одна з них рухалася зі швидкістю на 10 км/год більшою, ніж друга, а тому прибула в пункт призначення на 1 годину раніше за іншу. Знайти швидкість кожної машини.

Рішення

Нехай швидкість другої машини дорівнює $$x$$ км/год, тоді швидкість першої – $$(x+10)$$ км/год.

Час, який витратила друга машина на весь шлях, дорівнює $$\frac{300}{x}$$ год, а для першої – $$\frac{300}{x+10}$$ год.

Оскільки перша машина витратила на весь шлях на 1 годину менше, ніж друга, то складемо рівняння

$$\frac{300}{x}-\frac{300}{x+10}=1$$

Приведемо до спільного знаменника

$$\frac{300(x+10)-300x-x(x+10)}{x(x+10)}=0$$

Розкриємо дужки та приведемо подібні доданки

$$\frac{300x+3000-300x-x^2-10x}{x(x+10)}=0$$

$$\frac{-x^2-10x+3000}{x(x+10)}=0$$

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю ($$-x^2-10x+3000=0$$), а знаменник не дорівнює нулю ($$x\neq0, x\neq-10$$).

$$-x^2-10x+3000=0$$

Помножимо обидві частини рівняння на $$-1$$ і отримаємо приведене квадратне рівняння, корені якого знайдемо за теоремою Вієта

$$x^2+10x-3000=0$$

$$x_1+x_2=-10, x_1\cdot x_2=-3000$$

$$x_1=-60$$ – сторонній корінь

$$x_2=50$$

Отже, швидкість другої машини дорівнює 50 км/год, а швидкість першої становить 60 км/год..

Відповідь: 60 км/год; 50 км/год.

Завдання 10

Спростити вираз $$\sqrt{(3-\sqrt{5})^2}-\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}.$$

Рішення

Під час розв’язання скористаємося властивістю коренів і визначенням модуля дійсного числа

$$\sqrt{(3-\sqrt{5})^2}=|3-\sqrt{5}|=3-\sqrt{5},$$ т.к. $$3 > \sqrt{5}$$ ($$3 > \sqrt{5}\Leftarrow \sqrt{9} > \sqrt{5}\Leftarrow 9 > 5$$)

$$\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2,$$ т.к. $$2 < \sqrt{5}$$ ($$2 < \sqrt{5}\Leftarrow \sqrt{4} < \sqrt{5}\Leftarrow 4 > 5$$)

Тоді $$\sqrt{(3-\sqrt{5})^2}-\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=3-\sqrt{5}-(\sqrt{5}-2)=3-\sqrt{5}-\sqrt{5}+2=5-2\sqrt{5}$$

Відповідь: $$5-2\sqrt{5}.$$