Завдання 25
Розв’яжіть рівняння $$\log_{6}(x-3)+\log_{6}(x-8)=2.$$ Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь; якщо воно має два корені, то у відповідь запишіть їх суму.
Рішення
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix} x-3>0\\ x-8>0 \end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow x>8$$
$$\log_{6}(x-3)(x-8)=\log_{6}36$$
$$(x-3)(x-8)=36$$
$$x^2-8x-3x+24-36=0$$
$$x^2-11x-12=0$$
За теоремою Вієта: $$x_{1}\cdot x_{2}=-12,x_{1}+x_{2}=11$$
$$x_{1}=-1<8$$ – не корінь, $$x_{2}=12>8$$ – корінь.
Відповідь: 12.
Завдання 26
У фермерському господарстві „Надія” кожен рік озимою пшеницею засівають 600 га полів. Середня врожайність цієї культури у 2007 році становила 24 центнери з одного гектара. Завдяки сприятливим погодним умовам у 2008 році озимої пшениці було зібрано на 19 200 центнерів більше, ніж у 2007.
Обчисліть середню врожайність озимої пшениці, вирощеної у господарстві „Надія” у 2008 році (у ц/га).
(Середня врожайність сільськогосподарської культури – це відношення маси зібраного врожаю цієї культури до загальної площі полів, на яких вона була вирощена.)
Рішення
Середня врожайність у 2007 році: $$\frac{m_{2007}}{600}=24$$
Обчислимо середню врожайність озимої пшениці у 2008 році, враховуючи той факт, що у 2008 році зібрали на 19 200 центнерів більше, ніж у 2007 році:
$$\frac{m_{2008}}{600}=\frac{m_{2007}+19200}{600}=\frac{m_{2007}}{600}+\frac{19200}{600}=24+32=56$$
Відповідь: 56.
Завдання 27
Знайдіть КІЛЬКІСТЬ усіх цілих розв’язків нерівності $$\frac{x^2-x-12}{(x+1)^2}\leqslant 0.$$ Якщо нерівність має безліч цілих розв’язків, то у відповідь запишіть число 100.
Рішення
ОДЗ: $$x\neq -1$$
$$\frac{x^2-x-12}{(x+1)^2}\leqslant 0$$ $$\sim$$ $$x^2-x-12\leqslant 0,$$ оскільки $$(x+1)^2>0$$ завжди (з урахуванням ОДЗ).
За теоремою Вієта: $$x_{1}\cdot x_{2}=-12,x_{1}+x_{2}=1$$
$$x_{1}=-3, x_{2}=4$$
$$(x+3)(x-4)\leqslant 0$$
Розв’язуємо методом інтервалів
$$x\in [-3;-1)\cup(-1;4]$$
Випишемо всі цілі розв’язки нерівності: -3; -2; 0; 1; 2; 3; 4
Таких розв’язків 7.
Відповідь: 7.
Завдання 28
Кімната має форму прямокутного паралелепіпеда (ширина кімнати – 4 м, довжина – 5 м, висота – 2.5 м). Площа стін кімнати дорівнює 0,8 площі бічної поверхні цього паралелепіпеда.
Скільки фарби (у кг) потрібно для того, щоб повністю пофарбувати СТІНИ й СТЕЛЮ цієї кімнати, якщо на 1 м2 витрачається 0.25 кг фарби?
Рішення
Площа бічної поверхні: $$4\cdot2.5+4\cdot2.5+5\cdot2.5+5\cdot2.5=45$$
Площа стін: $$45\cdot0.8=36$$
Площа стелі: $$4\cdot5=20$$
Загальна площа стін і стелі: $$36+20=56$$
Маса фарби: $$0.25\cdot56=14$$
Відповідь: 14.
Завдання 29
Розв’яжіть систему рівнянь $$\left\{\begin{matrix} 3^{x-2y}=\frac{1}{3}\\\\3^x+3^{2y}=4\sqrt{3} \end{matrix}\right..$$
Для одержаного розв’язку $$(x_{0};y_{0})$$ системи обчисліть ДОБУТОК $$x_{0}\cdot y_{0}.$$
Рішення
Перетворимо перше рівняння системи: $$\frac{3^x}{3^{2y}}=\frac{1}{3}\Rightarrow 3^x=\frac{3^{2y}}{3}$$
Підставимо в друге рівняння системи: $$\frac{3^{2y}}{3}+3^{2y}=4\sqrt{3}$$
$$3^{2y}(\frac{1}{3}+1)=4\sqrt{3}$$
$$3^{2y}\cdot\frac{4}{3}=4\sqrt{3}$$
$$3^{2y}=3\sqrt{3}\Rightarrow 3^x=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$$
$$3^{2y}=3^\frac{3}{2}\Rightarrow 2y=\frac{3}{2}\Rightarrow y_{0}=\frac{3}{4}$$
$$3^x=\sqrt{3}\Rightarrow 3^x=3^{\frac{1}{2}}\Rightarrow x_{0}=\frac{1}{2}$$
$$x_{0}\cdot y_{0}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}=0.375$$
Відповідь: $$0.375.$$
Завдання 30
Знайдіть найбільше значення функції $$y=\frac{1}{3\sin x+5}.$$ Якщо функція не має найбільшого значення, то у відповідь запишіть число 100.
Рішення
$$|\sin x|\leqslant 1\Rightarrow \frac{1}{8}\leqslant\frac{1}{3\sin x+5}\leqslant\frac{1}{2}$$
$$0.5$$ – найбільше значення функції $$y=\frac{1}{3\sin x+5}.$$
Відповідь: $$0.5.$$
Завдання 31
Радіус основи конуса R, твірна нахилена до площини основи під кутом α. Через вершину конуса проведено площину під кутом ϕ до його висоти. Ця площина перетинає основу конуса по хорді.
Знайдіть площу утвореного перерізу.
Рішення
З прямокутного трикутника $$\triangle SOA:$$ $$SO=AO\cdot \text{tg}\, \alpha=R\cdot\text{tg}\, \alpha$$
У трикутнику $$\triangle OBC$$ проведемо $$OD\perp BC.$$ Тоді за теоремою про три перпендикуляри $$SD\perp BC.$$
З прямокутного трикутника $$\triangle SOD:$$ $$OD=SO\cdot\text{tg}\, \varphi$$ та $$SD=\frac{SO}{\cos \varphi }.$$
З урахуванням співвідношення для $$SO,$$ отримаємо: $$OD=R\cdot\text{tg}\, \alpha\cdot\text{tg}\, \varphi$$ й $$SD=R\frac{\text{tg}\, \alpha}{\cos \varphi }.$$
У прямокутному трикутнику $$\triangle ODB$$ за теоремою Піфагора:
$$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{R^2-R^2\cdot \text{tg}^2\alpha\cdot \text{tg}^2\varphi}=R\sqrt{1-\text{tg}^2\alpha\cdot \text{tg}^2\varphi}$$
$$BC=2BD=2R\sqrt{1-\text{tg}^2\alpha\cdot \text{tg}^2\varphi}$$
Значить площа перерізу (площа трикутника $$\triangle SBC)$$ дорівнює:
$$S=\frac{1}{2}\cdot SD\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot R\frac{\text{tg}\, \alpha}{\cos \varphi }\cdot 2R\sqrt{1-\text{tg}^2\alpha\cdot\text{tg}^2\varphi}=\frac{R^2\text{tg}\, \alpha \sqrt{1-\text{tg}^2\alpha\cdot \text{tg}^2\varphi}}{\cos \varphi}$$
Відповідь: $$\frac{R^2\text{tg}\, \alpha \sqrt{1-\text{tg}^2\alpha\cdot \text{tg}^2\varphi}}{\cos \varphi}.$$
Завдання 32
Задано функції $$f(x)=x^2+1$$ і $$g(x)=7-x.$$
- Знайдіть абсциси точок перетину графіків функцій $$f(x)$$ і $$g(x).$$ У прямокутній системі координат зобразіть фігуру, обмежену цими графіками.
- Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функцій $$f(x)$$ і $$g(x).$$
Рішення
1. $$x^2+1=7-x\Rightarrow x^2+x-6=0$$
За теоремою Вієта: $$x_{1}+x_{2}=-1, x_{1}\cdot x_{2}=-6\Rightarrow x_{1}=-3, x_{2}=2$$
Побудуємо фігуру, обмежену графіками функцій $$f(x)$$ та $$g(x):$$
2. Знайдемо площу, обчисливши визначений інтеграл:
$$S=\int\limits_{-3}^{2}\left [(7-x)-(x^2+1) \right ]dx=-\int\limits_{-3}^{2}(x^2+x-6)dx=\left ( \frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-6x \right )|_{-3}^{2}=$$
$$=-\left ( \frac{8}{3}+ \frac{27}{3}+\frac{4}{2}-\frac{9}{2}-12-18\right )=30-\frac{35}{3}+\frac{5}{2}=\frac{180-70+15}{6}=$$
$$=\frac{125}{6}=20\frac{5}{6}$$
Відповідь:
- $$-3;2.$$
- $$20\frac{5}{6}$$ (кв. од.)
Завдання 33
Розв’яжіть нерівність $$2\cdot\sqrt{x^2-6x+9}-\sqrt{(x-1)^2+4x}\leqslant x.$$
Рішення
$$2\cdot\sqrt{(x-3)^2}-\sqrt{(x+1)^2}\leqslant x$$
$$2\cdot|x-3|-|x+1|\leqslant x$$
Розкриємо модулі:
I. $$x\in(-\infty;-1)$$
$$2(-x+3)-(-x-1)\leqslant x$$
$$-2x+6+x+1-x\leqslant 0$$
$$-2x\leqslant -7$$
$$x\geqslant \frac{7}{2}$$ – помилково.
II. $$x\in [-1;3)$$
$$2(-x+3) – (x+1)\leqslant x$$
$$-4x\leqslant -5$$
$$x\geqslant 1.25$$
$$x\in [1.25;3)$$
III. $$x\in [3;\infty)$$
$$2(x-3) – (x+1)\leqslant x$$
$$-7\leqslant 0$$ – вірно для всіх $$x\in [3;\infty)$$
З урахуванням I, II та III отримаємо: $$x\in[1.25;3)\cup[3;\infty)=[1.25;\infty)$$
Відповідь: $$[1.25;\infty)$$