Розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь

Розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь базується на знаходженні всіх можливих кутів, які задовольняють цим рівнянням. Основний метод включає використання обернених тригонометричних функцій і врахування періодичності тригонометричних функцій. Для кожного рівняння існують специфічні формули, що враховують всі можливі розв’язки у межах одного або декількох періодів. Цей підхід дозволяє ефективно знаходити всі значення кутів, що задовольняють задані тригонометричні рівняння.

Загалом

$$\sin x=a,\;|a|\leqslant 1\Rightarrow x=(-1)^k\arcsin\,a+\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

або $$\left[\begin{matrix} x&=&\arcsin\,a+2\pi k,&\;k\in\mathbb{Z}\\ x&=&\pi-\arcsin\,a+2\pi l,&\;l\in\mathbb{Z} \end{matrix}\right.$$

$$\cos x=a,\;|a|\leqslant 1\Rightarrow x=\pm\arccos\,a+2\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

$$\text{tg}\, x=a,\;a\in\mathbb{R}\Rightarrow x=\text{arctg}\,a+\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

$$\text{ctg}\, x=a,\;a\in\mathbb{R}\Rightarrow x=\text{arcctg}\,a+\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

Окремі випадки

$$a=0$$

$$\sin x=0\Rightarrow x=\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

$$\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

$$\text{tg}\, x=0\Rightarrow x=\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

$$\text{ctg}\, x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

$$a=1$$

$$\sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

$$\cos x=1\Rightarrow x=2\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

$$\text{tg}\, x=1\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

$$\text{ctg}\, x=1\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

$$a=-1$$

$$\sin x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

$$\cos x=-1\Rightarrow x=\pi+2\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

$$\text{tg}\, x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

$$\text{ctg}\, x=-1\Rightarrow x=\frac{3\pi}{4}+\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$