Завдання
Скільки різних розв’язків залежно від параметра $$a$$ має система рівнянь
$$\left\{\begin{matrix} y=x^2+a\\x=xy-a \end{matrix}\right.$$?
Рішення
ОДЗ: $$x\neq 0$$
$$\left\{\begin{matrix} y=x^2+a \\ y=\frac{a}{x}+1 \end{matrix}\right.$$
Ліві частини рівні, прирівняємо праві частини
$$x^2+a=\frac{a}{x}+1$$
$$x^2-\frac{a}{x}+a-1=0$$
$$x^3+(a-1)x-a=0$$
Очевидно, що коренем даного рівняння є $$x=1$$
$$1^3+(a-1)\cdot1-a=0$$
$$0=0$$ – вірно
Скориставшись схемою Горнера отримаємо:
$$(x-1)(x^2+x+a)=0$$
Розв’яжемо $$x^2+x+a=0$$
$$D=1-4a$$
При $$D=0$$, тобто при $$a=\frac{1}{4}$$ – два збіжні дійсні корені, $$x=-\frac{1}{2}$$
І система має 2 розв’язки: $$x=1$$ та $$x=-\frac{1}{2}$$
При $$D \gt 0$$, тобто при $$0 \neq a \lt \frac{1}{4}$$ – два різні дійсні корені $$x=-\frac{1}{2} \pm\frac{1}{2}\sqrt{1-4a}$$
І система має три розв’язки: $$x=1$$, $$x=-\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\sqrt{1-4a}$$ та $$x=-\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\sqrt{1-4a}$$
При $$D < 0$$, тобто при $$a > \frac{1}{4}$$ рівняння не має дійсних коренів і система має один розв’язок $$x=1$$
При $$a=0$$ система має два розв’язки $$x=1$$ та $$x=-1$$
Отже, система має
- один розв’язок при $$a\in(\frac{1}{4};\infty)$$
- два розв’язки при $$a=0$$ та $$a=\frac{1}{4}$$
- три розв’язки при $$a\in (-\infty;0)\cup(0;\frac{1}{4})$$