Завдання
Чи може існувати прямокутний трикутник, у якого синуси кутів утворюють арифметичну прогресію?
Рішення
Очевидно, що це не може бути рівнобедрений трикутник, тому якщо один з кутів дорівнює $$\alpha\;\left (0<\alpha<\frac{\pi}{4} \right ),$$ інший кут буде $$\frac{\pi}{2}-\alpha.$$
Через те, що в першій чверті синус зростає, то розташування членів передбачуваної арифметичної прогресії буде наступним:
$$a_{1}=\sin\alpha;\;a_{2}=\sin\left (\frac{\pi}{2}-\alpha \right );\;a_{3}=\sin\frac{\pi}{2}$$
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}\Rightarrow 2a_{2}=a_{1}+a_{3}$$
$$2\sin\left ( \frac{\pi}{2}-\alpha \right )=\sin\alpha+\sin\frac{\pi}{2}$$
$$2\cos\alpha=\sin\alpha+1$$
$$\sin\alpha-2\cos\alpha=-1$$
За формулами перетворення суми (різниці) тригонометричних функцій у добуток:
$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\phi);\text{tg} \phi=\frac{b}{a};\;\sin \phi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}};\;\cos \phi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
$$a=1,\;b=2$$
$$\sqrt{5}\sin(\alpha-\text{arctg}2)=-1$$
$$\sin(\alpha-\text{arctg}\,2)=-\frac{1}{\sqrt{5}}$$
$$\alpha-\text{arctg}\,2=\arcsin\left (-\frac{1}{\sqrt{5}} \right )$$
$$\alpha=\text{arctg}\,2-\arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}$$
Візьмемо тангенс від обох частин:
$$\text{tg}\,\alpha=\text{tg}\,\left (\text{arctg}\,2-\arcsin\frac{1}{\sqrt{5}} \right )$$
За формулами суми та різниці кутів тригонометричних функцій:
$$\text{tg}\,\left (x-y \right )=\frac{\text{tg}\, x-\text{tg}\, y}{1+\text{tg}\, x \cdot \text{tg}\, y}$$
$$\text{tg}\,\alpha=\frac{\text{tg}\, \left (\text{arctg}\,2 \right )-\text{tg}\, \left ( \arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}\right )}{1+\text{tg}\, \left (\text{arctg}\,2 \right ) \cdot \text{tg}\, \left ( \arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}\right )}$$
$$\arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}=\phi\Rightarrow \sin\phi=\frac{1}{\sqrt{5}}\Rightarrow a=2,\; b=1\Rightarrow \text{tg}\,\phi=\frac{1}{2}$$
$$\text{tg}\,\left ( \arcsin\frac{1}{\sqrt{5}} \right )=\frac{1}{2}$$
$$\text{tg}\,\alpha=\frac{2-\frac{1}{2}}{1+2\cdot\frac{1}{2}}$$
$$\text{tg}\,\alpha=\frac{3}{4}$$
$$\alpha=\text{arctg}\,\frac{3}{4}$$
Через те, що $$0<\frac{3}{4}<1,$$ то $$0<\alpha<\frac{\pi}{4}$$ і такий трикутник існує.