Завдання 1

Виразіть у відсотках число $$\frac{1}{5}$$

А. 2%

Б. 20%

В. 50%

Г. 0.2%

Д. 1.5%

Рішення

$$\frac{1}{5}\cdot100\%=20\%$$

Відповідь: Б

Завдання 2

Відрізок, довжина якого дорівнює 60 см, поділено точками на чотири рівні відрізки. Визначте відстань між серединами отриманих крайніх відрізків.

А. 36 см

Б. 40 см

В. 45 см

Г. 48 см

Д. 50 см

Рішення

$$\frac{60}{4}=15$$
$$60-15=45$$

Відповідь: 45 см

Завдання 3

Знайти добуток коренів рівняння $$x^2+6x-55=0$$

А. $$-55$$

Б. $$55$$

В. $$-6$$

Г. $$6$$

Д. $$-49$$

Рішення

Повторіть теорему Вієта.
$$x_1\cdot x_2=-55$$

Відповідь: А

Завдання 4

$$\frac{3x^2y}{9xy^3}=$$

А. $$27x^3y^4$$

Б. $$\frac{x^3y^4}{3}$$

В. $$\frac{3x}{y^2}$$

Г. $$\frac{x^3}{3y^4}$$

Д. $$\frac{x}{3y^2}$$

Рішення

Повторіть властивості ступенів.

$$\frac{3x^2y}{9xy^3}=\frac{x}{3y^2}$$

Відповідь: Д

Завдання 5

Яка з наведених точок належить графіку функції $$y=\frac{5+x}{x-2}$$

А. $$(2; 7)$$

Б. $$(1; 6)$$

В. $$(-3; 0.4)$$

Г. $$(0; 2.5)$$

Д. $$(4; 4.5)$$

Рішення

Підставляючи послідовно координати кожної точки, отримаємо вірну рівність для точки $$(4; 4.5)$$

$$\frac{5+4}{4-2}=\frac{9}{2}$$

$$4.5=4.5$$

Відповідь: Д

Завдання 6

На рисунку зображено паралелограм $$ABCD.$$

Які з наведених тверджень є правильними?

I. $$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ}$$
II. $$\angle B+\angle D=180^{\circ}$$
III. $$\angle B-\angle A > 0^{\circ}$$

А. лише I
Б. лише I й II
В. лише II
Г. лише I й III
Д. I, II й III

Рішення

Сума кутів чотирикутника дорівнює $$360^{\circ}$$

Різниця тупого і гострого кутів більша за нуль.

Тобто правильними будуть лише I й III

Відповідь: Г

Завдання 7

Розв’язати рівняння $$\log_{3}x=-1$$

А. $$\frac{1}{3}$$

Б. $$3$$

В. $$-1$$

Г. $$-3$$

Д. $$-\frac{1}{3}$$

Рішення

Повторіть властивості логарифмів

$$\log_{3}x=-1\log_{3}3$$

$$\log_{3}x=\log_{3}\frac{1}{3}$$

$$x=\frac{1}{3}$$

Відповідь: А

Завдання 8

Визначити площу сфери, діаметр якої дорівнює 12 см.

А. $$36\pi$$ см2

Б. $$72\pi$$ см2

В. $$144\pi$$ см2

Г. $$288\pi$$ см2

Д. $$576\pi$$ см2

Рішення

$$S=\pi R^2=144\pi$$ см2

Відповідь: В

Завдання 9

Довжини перпендикулярних векторів $$\vec{a}$$ та $$\vec{b}$$ (див. рисунок) дорівнюють 6 і 8 відповідно. Знайти довжину вектора $$\vec{a}+\vec{b}.$$

А. 2

Б. 6

В. 8

Г. 10

Д. 14

Рішення

Повторіть теоретичний матеріал щодо векторів

$$|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$$

Відповідь: Г

Завдання 10

Якщо $$\sqrt{x}+y=5$$ й $$2\sqrt{x}-y=7,$$ то $$y$$ дорівнює

А. $$-2$$

Б. $$-1$$

В. $$3$$

Г. $$2$$

Д. $$1$$

Рішення

$$y=5-\sqrt{x}$$

$$2\sqrt{x}-7=y$$

$$2\sqrt{x}-7=5-\sqrt{x}$$

$$3\sqrt{x}=12$$

$$\sqrt{x}=4$$

$$y=1$$

Відповідь: Д

Завдання 11

Майстер обслуговує три верстати: 20% робочого часу він обслуговує перший верстат, 30% – другий і 50% – третій. Обчислити ймовірність того, що в навмання обраний момент робочого часу майстер обслуговує перший або третій верстат.

А. 0.8

Б. 0.7

В. 0.5

Г. 0.3

Д. 0.1

Рішення

Нехай подія $$A$$ – майстер обслуговує перший верстат; $$B$$ – другий.

За теоремою додавання:

$$P(A+B)=P(A)+P(B)=0.2+0.5=0.7$$

Відповідь: Б

Завдання 12

На якому з рисунків зображено ескіз графіка функції $$y=2^{-x}?$$

Рішення

$$y=2^{-x}=(\frac{1}{2})^x$$

Графік функції
$$y=2^{-x}$$

Відповідь: Б

Завдання 13

Яке з наведених рівнянь не має коренів?

А. $$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Б. $$\text{tg}x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

В. $$\text{ctg}x=-\frac{2}{\sqrt{3}}$$

Г. $$\text{tg}x=\frac{2}{\sqrt{3}}$$

Д. $$\cos x=\frac{2}{\sqrt{3}}$$

Рішення

Пропонуємо повторити матеріали за темою: синусоїда, косинусоїда, тангенсоїда, котангенсоїда

Очевидно, що не має розв’язку рівняння $$\cos x=\frac{2}{\sqrt{3}}$$, бо $$\frac{2}{\sqrt{3}}>1.$$

Відповідь: Д

Завдання 14

Обчисліть $$36^{\log_6{5}}$$.

А. 5

Б. 6

В. 10

Г. 25

Д. 36

Рішення

$$36^{\log_6{5}}=6^{2\log_6{5}}=6^{\log_6{5^2}}=25$$

Відповідь: Г

Завдання 15

На рисунку зображено куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1.$$ Визначте градусну міру кута між прямими $$AB_1$$ та $$DD_1.$$

А. $$0^{\circ}$$

Б. $$30^{\circ}$$

В. $$45^{\circ}$$

Г. $$60^{\circ}$$

Д. $$90^{\circ}$$

Рішення

Очевидно, що необхідно знайти кут між прямими $$AA_1$$ й $$AB_1$$, бо $$AA_1\parallel DD_1.$$

$$\angle A_1AB_1=45^{\circ}$$

Відповідь: В

Завдання 16

Вкажіть область визначення функції $$y=\frac{4-x}{5}$$

А. $$(-\infty;\infty)$$

Б. $$(-\infty;5)\cup(5;\infty)$$

В. $$(-\infty;4)\cup(4;\infty)$$

Г. $$(-\infty;\frac{4}{5})\cup(\frac{4}{5};\infty)$$

Д. $$(4;5)$$

Рішення

Очевидно, що функція існує за будь-яких значень змінної $$x.$$ Тобто $$x\in(-\infty;\infty)$$

Відповідь: А

Завдання 17

Якщо $$a\in(-2;3)$$, то $$|a^2-a-6|=$$

А. $$a^2-a-6$$

Б. $$a^2+a-6$$

В. $$a^2+a+6$$

Г. $$-a^2+a+6$$

Д. $$-a^2-a+6$$

Рішення

Повторіть тему розв’язання рівнянь із модулем

$$|a^2-a-6|=|(a-3)(a+2)|=|a-3|\cdot|a+2|$$

$$a\in(-2;3)$$

$$|a-3|=3-a$$

$$|a+2|=a+2$$

$$|a-3|\cdot|a+2|=-(a-3)(a+2)=-a^2+a+6$$

Відповідь: Г

Завдання 18

Розв’язати нерівність $$2\cdot(0.3)^x \lt 0.18$$

А. $$(-\infty;2)$$

Б. $$(2;\infty)$$

В. $$(-\infty;0.3)$$

Г. $$(0.3;\infty)$$

Д. $$(0;2)$$

Рішення

$$2\cdot(0.3)^x \lt 0.18$$

Ділимо обидві частини нерівності на додатне число 2, зберігаючи при цьому знак нерівності.

$$(0.3)^x \lt 0.09$$

$$(0.3)^x \lt (0.3)^2$$

Основа $$0.3 \lt 1,$$ значить $$(0.3)^x$$ – спадна функція, тоді $$x \gt 2$$

Відповідь: Б

Завдання 19

Для функції $$f(x)=2x+2$$ знайдіть первісну, графік якої проходить через точку $$(1;4)$$

А. $$F(x)=x^2+2x$$
Б. $$F(x)=x^2+2x+1$$
В. $$F(x)=x^2+2x+2$$
Г. $$F(x)=x^2+2x-4$$
Д. $$F(x)=2x^2+x+1$$

Рішення

Знайдемо первісну

$$F(x)=x^2+2x+C, C=const$$

Підставимо в первісну координати точки $$(1;4)$$ і знайдемо постійну

$$4=1^2+2\cdot1+C$$

$$C=1$$

Значить $$F(x)=x^2+2x+1$$

Відповідь: Б

Завдання 20

На рисунку зображено розгортка прямокутного паралелепіпеда. Використовуючи вказані на рисунку розміри, знайти об’єм даного паралелепіпеда.

А. 96 см3

Б. 108 см3

В. 128 см3

Г. 136 см3

Д. 144 см3

Рішення

$$V=a\cdot b\cdot c$$

У нашому випадку з рисунка $$a=12-4=8$$ см, $$b=4$$ см, $$c=3$$ см

Таким чином $$V=8\cdot4\cdot3=96$$ см3

Відповідь: А

Завдання 21

Встановити тотожну відповідність

1. $$1-\cos^2\alpha$$
2. $$2\sin\alpha\cos\alpha$$
3. $$\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$$
4. $$\cos^4\alpha+\sin^2\alpha\cos^2\alpha$$

А. $$\cos^2\alpha$$
Б. $$\cos2\alpha$$
В. $$\sin2\alpha$$
Г. $$-\cos2\alpha$$
Д. $$\sin^2\alpha$$

Рішення

1. $$1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha$$ – Д

2. $$2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha$$ – В

3. $$\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos2\alpha$$ – Б

4. $$\cos^4\alpha+\sin^2\alpha\cos^2\alpha=\cos^2\alpha(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=\cos^2\alpha$$ – А

Відповідь: 1-Д; 2-В; 3-Б; 4-А

Завдання 22

Установити відповідність між функцією та її властивістю.

Функція

1. $$y=x^2$$
2. $$y=x^3+1$$
3. $$y=3-x$$
4. $$y=\sin x$$

Властивість

А. зростає на всій області визначення
Б. спадає на всій області визначення
В. є непарною
Г. є парною
Д. областю значень функції є проміжок $$(0;\infty)$$

Рішення

1. $$y=x^2$$

$$y(-x)=(-x)^2=x^2=y(x)$$ – парна

Отримали 1 – Г

2. $$y=x^3+1$$ зростає на всій області визначення

Дивіться графік степеневої функції для непарного $$n$$

Отримали 2 – А

3. $$y=3-x$$ спадає на всій області визначення

Дивіться побудову графіка лінійної функції

Отримали 3 – Б

4. $$y=\sin x$$

$$y(-x)=\sin(-x)=-\sin x=-y(x)$$ – непарна

Отримали 4 – В

Завдання 23

На рисунках 1-5 наведено інформацію про п’ять трикутників.

Установіть відповідність між запитанням і правильною відповіддю на нього.

Питання

1. На якому рисунку зображено трикутник, у якого центри вписаного й описаного кіл збігаються?
2. На якому рисунку зображено трикутник, один із внутрішніх кутів якого дорівнює $$30^{\circ}$$?
3. На якому рисунку зображено трикутник, площа якого дорівнює 10 см2?
4. На якому рисунку зображено трикутник, у якого діаметр описаного навколо нього кола дорівнює $$10\sqrt{2}$$ см?

Відповідь

АБВГД

Рішення

1. На рисунку 1 зображено правильний трикутник, отже центри вписаного й описаного кіл збігаються, тобто відповідь 1 – А.

2. На рисунку 3 зображено прямокутний трикутник із катетом, який у 2 рази менший за гіпотенузу, отже кут навпроти цього катета дорівнює $$30^{\circ}$$, тобто відповідь 2 – В.

3. На п’ятому рисунку зображено трикутник з основою, що дорівнює 10 см, і висотою до цієї основи, що дорівнює 2 см. Отже, площа даного трикутника дорівнює $$S_{\triangle}=\frac{1}{2}\cdot10\cdot2=10$$ см2. Тобто відповідь 3 – Д.

4. Проведемо висоту $$BD$$ на бік $$AC$$ з прилеглими кутами $$60^{\circ}$$ і $$45^{\circ}$$ у трикутнику $$\triangle ABC$$ з рисунка 4.

Розглянемо трикутник $$\triangle ADB$$: $$\angle D=90^{\circ}$$, $$\angle B=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$$. Тоді $$AD=\frac{1}{2}AB=5$$ см, $$BD=AB\sin60^{\circ}=5\sqrt{3}$$ см.

Розглянемо $$\triangle BDC$$: $$\angle D=90^{\circ}$$, $$\angle B=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$$. Значить трикутник $$\triangle BDC$$ рівнобедрений прямокутний і $$DC=BD=5 \sqrt{3}$$ см. За теоремою Піфагора $$BC=\sqrt{2\cdot(5\sqrt{3})^2}=5\sqrt{6}$$ см.

Радіус описаного кола для довільного трикутника можна знайти за формулою $$R=\frac{abc}{4S}$$, де $$a$$, $$b$$, $$c$$ – сторони трикутника, $$S$$ – площа трикутника.

Знайдемо площу трикутника за формулою $$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{(5+5\sqrt{3})\cdot5\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}(1+\sqrt{3})}{2}$$.

Знайдемо діаметр описаного кола $$d=\frac{10\cdot5\sqrt{6}\cdot5(1+\sqrt{3})}{25\sqrt{3}(1+\sqrt{3})}=10\sqrt{2}$$ см. Відповідь 4 – Г.

Завдання 24

У прямокутній декартовій системі координат $$xyz$$ у просторі задано точку $$M(1;-4;8)$$. Установити відповідність між початком речення та його кінцем так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1. Відстань від точки $$M$$ до площини $$xy$$ дорівнює
2. Відстань від точки $$M$$ до початку координат дорівнює
3. Відстань від точки $$M$$ до осі $$z$$ дорівнює
4. Відстань від точки $$M$$ до точки $$N(1;0;8)$$ дорівнює

Кінець речення

А. 1
Б. 4
В. $$\sqrt{17}$$
Г. 8
Д. 9

Рішення

1. Відстань від точки $$M$$ до площини $$xy$$ дорівнює 8

координата $$z=8$$

1 – Г

2. Відстань від точки $$M$$ до початку координат дорівнює 9

$$\sqrt{1^2+(-4)^2+8^2}=\sqrt{81}=9$$

2 – Д

3. Відстань від точки $$M$$ до осі $$z$$ дорівнює $$\sqrt{17}$$

$$\sqrt{1^2+(-4)^2}=\sqrt{17}$$

3 – В

4. Відстань від точки $$M$$ до точки $$N(1;0;8)$$ дорівнює 4

$$|\vec{MN}|=\sqrt{(1-1)^2+(0-4)^2+(8-8)^2}=4$$

4 – Б

Завдання 25

Відстань між двома містами велосипедист долає за 2 години, а пішохід – за 6 годин. Вважайте, що швидкість велосипедиста та пішохода є постійними протягом усього шляху.

1. Визначити відстань між містами (у км), якщо швидкість велосипедиста на 12 км/год більша за швидкість пішохода.

2. Пішохід і велосипедист одночасно вирушили назустріч один одному з двох міст. Через скільки годин після початку руху вони зустрінуться?

Рішення

1) Нехай $$x$$ км/год – швидкість велосипедиста, тоді швидкість пішохода $$x-12$$ км/год. Велосипедист долає відстань за 2 години, а пішохід – за 6 годин. Складемо і розв’яжемо рівняння, скориставшись формулою для знаходження відстані $$S=v\cdot t$$

$$2x=6(x-12)$$

$$x=3(x-12)$$

$$2x=36$$

$$x=18$$ км/год – швидкість велосипедиста, тоді швидкість пішохода 6 км/год.

$$S=18\cdot2=36$$ км – відстань між містами.

Відповідь 1: 36

2) Пішохід і велосипедист одночасно вирушили назустріч один одному з двох міст зі швидкостями 18 км/год і 6 км/год відповідно, відстань між містами дорівнює 36 км (див. розв’язання попередньої частини завдання). Нехай вони зустрінуться через $$t$$ годин. Складемо та розв’яжемо рівняння

$$18t+6t=36$$

$$24t=36$$

$$t=\frac{36}{24}=1.5$$ години

Відповідь 2: $$1.5$$

Завдання 26

У ромб $$ABCD$$ вписано коло з центром у точці $$O$$, що торкається сторін $$AB$$ і $$AD$$ у точках $$K$$ і $$M$$ відповідно (див. рисунок). Периметр ромба дорівнює 48 см., $$\angle A=60^{\circ}$$.

Знайти:

1. Довжину відрізка $$OB$$ (у см).

2. Довжину відрізка $$KM$$ (у см).

Рішення

1) Периметр ромба $$P=48$$ см, значить сторона ромба $$a=\frac{P}{4}=\frac{48}{4}=12$$ см. Оскільки кут $$\angle A=60^{\circ}$$ й $$AB=AD$$, то $$\triangle ABD$$ рівносторонній і $$BD=AB=AD=12$$ см. $$O$$ – середина $$BD$$, значить $$OB=6$$ см.

Відповідь: 6

2) Розглянемо трикутник $$\triangle OKB$$: $$\angle K=90^{\circ}$$ (оскільки $$AB$$ – дотична до кола), $$\angle B=60^{\circ}$$, значить $$\angle O=30^{\circ}$$, звідси випливає, що $$KB=\frac{1}{2}OB=3$$ см (катет проти кута в $$30^{\circ}$$ дорівнює половині гіпотенузи). Значить $$AK=AB-KB=12-3=9$$ см. З правильного трикутника $$\triangle AKM$$ (кути по $$60^{\circ}$$) $$KM=9$$ см.

Відповідь: 9

Завдання 27

Повна вартість доставлення великогабаритних меблів у фірмі з перевезень складається з вартості доставлення на 1-й поверх будинку і вартості підйому меблів на потрібний поверх. Вартість підйому меблів на кожен наступний поверх перевищує вартість підйому на попередній на одну й ту саму величину. Визначити повну вартість (у грн) доставлення меблів на 11-й поверх будинку, якщо повна вартість доставлення меблів на 4-й і 7-й поверхи цього будинку становить 142 грн і 154 грн відповідно.

Рішення

Задача на арифметичну прогресію.

Оскільки повна вартість підйому на 4-й поверх дорівнює 142 грн, то $$a_1+a_4=142$$. Для повної вартості підйому на 7-й поверх рівняння буде таким: $$a_1+a_7=154$$.

Або

$$\left\{\begin{matrix} a_1+a_1+3d=142\\ a_1+a_1+6d=154\end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix} 2a_1+3d=142\\ 2a_1+6d=154\end{matrix}\right.$$

З другого рівняння системи віднімемо перше $$3d=12$$, тоді $$d=4$$

Знайдемо повну вартість доставлення меблів на 11-й поверх

$$a_1+a_11=2a_1+10d=2a_1+6d+4d=154+4\cdot4=170$$ грн

Відповідь: 170

Завдання 28

Розв’яжіть нерівність $$\lg{\frac{4}{2x-3}}\geqslant 0$$. У відповідь запишіть найбільший розв’язок цієї нерівності. Якщо найбільший розв’язок нерівності не існує, то у відповідь запишіть число 100.

Рішення

ОДЗ: $$2x-3 > 0$$, т.е. $$x > 1.5$$.

$$\lg\frac{4}{2x-3} \geqslant \lg1$$

Основа логарифма більша за одиницю, отже, під час потенціювання знак нерівності збережеться

$$\frac{4}{2x-3} \geqslant 1$$

$$\frac{4}{2x-3} -1\geqslant 0$$

$$\frac{4-2x+3}{2x-3}\geqslant 0$$

$$\frac{-2(x-3.5)}{2(x-1.5)}\geqslant 0$$

$$\frac{x-3.5}{x-1.5}\leqslant 0$$

Розв’язуючи методом інтервалів, отримаємо $$x\in(1.5;3.5]$$, що задовольняє ОДЗ.

Найбільшим розв’язком нерівності буде значення $$x=3.5$$

Відповідь: $$3.5$$

Завдання 29

Обчислити значення виразу $$20\sqrt{6}-(\frac{4}{\sqrt{2}}+5\sqrt{3})^2$$.

Рішення

$$20\sqrt{6}-(\frac{4}{\sqrt{2}}+5\sqrt{3})^2=$$

$$=20\sqrt{6}-(\frac{4+5\sqrt{6}}{\sqrt{2}})^2=$$

$$=20\sqrt{6}-\frac{16+150+40\sqrt{6}}{2}=$$

$$=20\sqrt{6}-83-20\sqrt{6}=-83$$

Відповідь: $$-83$$