Завдання
Розв’язати нерівність $$\sqrt{x+6} > \sqrt{x+1} + \sqrt{2x-5}$$
Рішення
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix} x+6\geqslant 0 \\ x+1\geqslant 0 \\ 2x-5\geqslant 0 \end{matrix}\right.$$
або $$x \geqslant \frac{5}{2}$$
Ліва і права частини нерівності невід’ємні (квадратний корінь і сума квадратних коренів невід’ємні), зведемо до квадрата
$$x+6 > x+1+2x-5+2\sqrt{x+1}\sqrt{2x-5}$$
$$2\sqrt{x+1}\sqrt{2x-5} < -2x+10$$
Розділимо на додатне число 2, при цьому знаки нерівності зберігаються
$$\sqrt{x+1}\sqrt{2x-5} < 5-x$$
Ліва частина невід’ємна, тоді вимагаємо, щоб і права частина була невід’ємною для того, щоб звести до квадрата. Отримаємо додаткову умову $$5-x \geqslant 0$$ або $$x \leqslant 5$$.
Зводимо у квадрат
$$(x+1)(2x-5) < 25+x^2-10x$$
Після розкриття дужок, перенесення в ліву частину і приведення подібних доданків, отримаємо
$$x^2+7x-30 < 0$$
За теоремою Вієта знайдемо корені квадратного рівняння $$x^2+7x-30=0$$: $$x_1=-10$$, $$x_2=3$$
Тоді нерівність перепишемо у вигляді
$$(x+10)(x-3) < 0$$
Розв’язуючи її методом інтервалів, отримаємо $$x\in (-10; 3)$$
З урахуванням ОДЗ і додаткової умови отримаємо $$x\in [2,5; 3)$$
Відповідь: $$x\in [2,5; 3)$$.