Завдання
Доведіть, що якщо позитивні числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ утворюють арифметичну прогресію, то числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ також утворюють арифметичну прогресію.
Доказ
- $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}-\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}-\sqrt{c}}{(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}=\frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}$$
- $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{c}-\sqrt{b}-\sqrt{a}}{(\sqrt{b}+\sqrt{a})(\sqrt{a}+\sqrt{c})}=\frac{\sqrt{c}-\sqrt{b}}{(\sqrt{b}+\sqrt{a})(\sqrt{a}+\sqrt{c})}$$
- Якщо різниця 1 і 2 дорівнює нулю, то доведено
$$\frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}-\frac{\sqrt{c}-\sqrt{b}}{(\sqrt{b}+\sqrt{a})(\sqrt{a}+\sqrt{c})}=\frac{b-a-c-b}{(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{a})}=\frac{2b-a-c}{(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{a})}$$ - Так як $$a$$, $$b$$, $$c$$ – арифметична прогресія, то $$2b=a+c$$.
Підставимо в 3 і отримаємо:
$$\frac{a+c-a-c}{(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{a})}=0$$
Довели, що числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ утворюють арифметичну прогресію.