Властивості зворотних тригонометричних функцій

Оскільки геометрично значення зворотної тригонометричної функції пов’язане з довжиною дуги одиничного кола (або кутом, що стягує цю дугу), яка відповідає тому чи іншому відрізку, то назви зворотних тригонометричних функцій утворюються наступним чином: приставка «арк-» ( від латинського arc — дуга) плюс відповідні їм назви тригонометричних функцій.

Арксинус

Арксинусом числа $$a$$ називається таке значення кута $$\alpha,$$ для якого $$\sin \alpha=a,\;|a|\leqslant 1,\;\alpha\in[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}].$$

  • Областю визначення функції арксинуса є відрізок $$[-1;1].$$
  • Областю значень функції арксинус є відрізок $$[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}].$$
  • Арксинус це функція, що строго зростає.
  • $$\sin \left (\arcsin a \right )=a,\;|a|\leqslant 1.$$
  • $$\arcsin\left (\sin \alpha \right )=\alpha,\;\alpha\in[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}].$$
  • Арксинус є непарною функцією: $$\arcsin(-a)=-\arcsin a,\;|a| \leqslant 1.$$
  • $$\arcsin a>0,\;a\in(0;1].$$
  • $$\arcsin a=0,\;a=0.$$
  • $$\arcsin a<0,\;a\in[-1;0).$$

Арккосинус

Арккосинусом числа $$a$$ називається таке значення кута $$\alpha,$$ для якого $$\cos \alpha=a,\;|a|\leqslant 1,\;\alpha\in[0;\pi].$$

  • Областю визначення функції арккосинуса є відрізок $$[-1;1].$$
  • Областю значень функції арккосинус є відрізок $$[0;\pi].$$
  • Арккосинус строго спадна функція.
  • $$\cos \left (\arccos a \right )=a,\;|a|\leqslant 1.$$
  • $$\arccos\left (\cos \alpha\right )=\alpha,\;\alpha\in[0;\pi].$$
  • Арккосинус є індиферентною функцією: $$\arccos (-a)=\pi-\arccos a,\;|a|\leqslant 1.$$ Функція центрально симетрична щодо точки $$\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right ).$$
  • $$\arccos a>0,\;a\in[-1;1).$$
  • $$\arccos a=0,\;a=1.$$

Арктангенс

Арктангенсом числа $$a$$ називається таке значення кута $$\alpha,$$ для якого $$\text{tg}\, \alpha=a,\;a\in\mathbb{R},\;\alpha\in\left (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right ).$$

  • Областю визначення функції арктангенс є вся числова пряма: $$\mathbb{R}.$$
  • Областю значень функції арктангенс є інтервал $$\left (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right ).$$
  • Арктангенс це функція, що строго зростає.
  • $$\text{tg}\left (\text{arctg}\,a \right ) =a,\;a\in\mathbb{R}.$$
  • $$\text{arctg}\left (\text{tg}\,\alpha \right ) =\alpha,\;\alpha\in\left ( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right ).$$
  • Арктангенс є непарною функцією: $$\text{arctg}\left (-a \right ) =-\text{arctg}\,a,\;a\in\mathbb{R}.$$
  • $$\text{arctg}\,a>0,\;a\in(0;\infty ).$$
  • $$\text{arctg}\,a=0,\;a=0.$$
  • $$\text{arctg}\,a<0,\;a\in(-\infty;0).$$

Арккотангенс

Арккотангенсом числа $$a$$ називається таке значення кута $$\alpha,$$ для якого $$\text{ctg}\, \alpha=a,\;a\in\mathbb{R},\;\alpha\in\left (0;\pi \right ).$$

  • Областю визначення функції арккотангенс є вся числова пряма: $$\mathbb{R}.$$
  • Областю значень функції арккотангенс є інтервал $$\left (0;\pi \right ).$$
  • Арккотангенс строго спадна функція.
  • $$\text{ctg}\left (\text{arcctg}\,a \right ) =a,\;a\in\mathbb{R}.$$
  • $$\text{arcctg}\left (\text{ctg}\,\alpha \right ) =\alpha,\;\alpha\in\left (0;\pi \right ).$$
  • Арккотангенс є індиферентною функцією: $$\text{arcctg}\left (-a \right ) =\pi-\text{arcctg}\,a,\;a\in\mathbb{R}.$$ Функція центрально симетрична щодо точки$$\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right ).$$
  • $$\text{arcctg}\,a>0,\;a\in\mathbb{R}.$$

Основні співвідношення

  • $$\arcsin a+\arccos a=\frac{\pi}{2},\;|a|\leqslant 1.$$
  • $$\text{arctg}\,a+\text{arcctg}\,a=\frac{\pi}{2},\;a\in\mathbb{R}.$$