Пропорції
Пропорція [лат. proportio — частка] – рівність двох співвідношень, тобто рівність виду $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d},$$ де $$a, d$$ – крайні члени, $$b, c$$ – середні члени пропорції.
Основні властивості пропорції:
- Добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів пропорції:
$$ad=bc.$$ - Перестановка членів пропорції:
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}, \frac{d}{b}=\frac{c}{a}, \frac{a}{c}=\frac{b}{d}, \frac{d}{c}=\frac{b}{a}.$$ - Збільшення, зменшення, складання пропорції додаванням та відніманням:
$$\frac{a\pm b}{a}=\frac{c\pm d}{c}, \frac{a\pm c}{b\pm d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$
Модуль
Модуль [абсолютна величина] дійсного числа $$a$$ – невід’ємне число, визначення якого залежить від типу цього числа $$a$$ і позначається $$|a|.$$
$$|a|=\left[\begin{matrix} a ,& a\geqslant 0\\ -a, & a<0 \end{matrix}\right.$$
З геометричного погляду модуль дійсного числа – відстань від початку відліку до точки, якій відповідає це число.
Отже, $$|a|\geqslant 0,$$ $$|a|= 0\Leftrightarrow a=0$$
Наслідки: $$|-a|= |a|, a\leqslant |a|, -a\leqslant|a|,-|a|\leqslant a,-|a|\leqslant a \leqslant |a|.$$
Властивості модуля:
1. $$|a\cdot b|=|a|\cdot|b|$$
2. $$\left |\frac{a}{b} \right |=\frac{|a|}{|b|}, b\neq 0$$
3. $$|a+b|\leqslant |a|+|b|$$
4. $$|a-b|\leqslant |a|+|b|$$
5. $$|a|-|b|\leqslant |a+b|$$
6. $$|a+b|\geqslant \left | |a|-|b| \right |$$
7. $$|a-b|\geqslant \left | |a|-|b| \right |$$