Онлайн тест з математики на 60 хвилин для учнів 11 класу

Для того, щоб розташувати числа в порядку зростання, необхідно порівняти їх. Переведемо дроби у звичайні.

Згадаймо властивості:

1. За однакових чисельників більший той дріб, у якого знаменник менший.
2. За однакових знаменників більшим є той дріб, у якого чисельник більший.

$$\frac{1}{9}>\frac{1}{10}=0.1$$

$$0.11=\frac{11}{100}>\frac{10}{100}=\frac{1}{10}=0.1$$ (хоча для десяткових дробів одразу видно, що число $$0.11$$ розташоване на числовій осі правіше числа $$0.1$$)

$$0.11=\frac{11}{100}=\frac{99}{900}<\frac{100}{900}=\frac{1}{9}$$

Значить $$0.1<0.11<\frac{1}{9}$$

$$0.1;\,0.11;\,\frac{1}{9}$$ – розташовані в порядку зростання.

Область значень функції $$y=f(x)$$ — множина значень, яких набуває змінна $$y$$ у результаті застосування функції. Із графіка видно, що $$y\in[-1; 2].$$

Скористаємося властивостями суміжних і вертикальних кутів, сумою кутів прямокутного трикутника

$$a=90^{\circ}-(180^{\circ}-146^{\circ})=56^{\circ}$$

$$\vec{CO}=\frac{1}{2}\vec{CA}=-\frac{1}{2}\vec{AC}=-\frac{1}{2}\left (\vec{AB}+\vec{AD} \right )$$

$$x^2-2x\leqslant 0$$

$$x(x-2)\leqslant 0$$

Розв’язуємо методом інтервалів

$$x\in [0;2]$$

Використовуємо властивості коренів

$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{0.08}=\sqrt{2\cdot0.08}=\sqrt{0.16}=\sqrt{(0.4)^2}=0.4$$

Виконаємо перетворення, застосувавши формули скороченого множення

$$\frac{9-x^2}{x^2+6x+9}=\frac{(3-x)(3+x)}{(x+3)^2}=\frac{3-x}{x+3}$$

Діаметр основи конуса дорівнює 6 см, отже радіус дорівнює 3 см.

Площа бічної поверхні конуса знаходиться за формулою

$$S=\pi\cdot R\cdot l$$, де $$R$$ – радіус основи конуса, $$l$$ – твірна конуса. Оскільки площа бічної поверхні конуса дорівнює $$24\pi$$ см², то твірна дорівнює

$$l=\frac{S}{R\pi}=\frac{24\pi}{3\pi}=8$$ см.

1) Скільки кілограмів міді міститься в першому сплаві?

Оскільки маса першого сплаву дорівнює 50 кг і в ньому міститься 10% міді, то

$$x_1$$ кг міді – 10%

50 кг першого сплаву – 100%

Отримали пропорцію

$$\frac{x_1}{50}=\frac{10\%}{100\%}\Rightarrow x_1=50\cdot 0.1=5$$ кг.

2) Скільки кілограмів міді міститься у двох сплавах одночасно?

Спочатку знайдемо масу міді в другому сплаві, а потім масу міді у двох сплавах одночасно.

$$x_2$$ кг міді – 25%

100 кг другого сплаву – 100%

$$\frac{x_2}{100}=\frac{25\%}{100\%}\Rightarrow x_2=100\cdot 0.25=25$$ кг

Оскільки маса міді в першому сплаві дорівнює 5 кг (див. 1), то

$$5+25=30$$ кг – загальна маса міді у двох сплавах одночасно

3) Якщо з цих сплавів утворити новий сплав, то скільки відсотків міді міститиме новий сплав?

Загальна маса міді у двох сплавах дорівнює 30 кг (див. 2)

Загальна маса двох сплавів дорівнює 50 + 100 = 150 кг – маса нового сплаву.

30 кг міді – p%

150 кг нового сплаву – 100%

$$\frac{30}{150}=\frac{p\%}{100\%}\Rightarrow p=\frac{1}{5}\cdot 100=20$$

4) Скільки кілограмів другого сплаву необхідно додати до першого, щоб вийшов сплав, що містить 15% міді?

Нехай необхідно додати $$y$$ кг другого сплаву з масою міді в ньому $$0.25y$$ кг (за умовою в другому сплаві 25% міді).

$$5+0.25y$$ кг міді – 15%

$$50+y$$ кг сплаву – 100%

$$\frac{5+0.25y}{50+y}=\frac{15\%}{100\%}$$

$$5+0.25y=0.15\cdot(50+y)$$

$$0.25y-0.15y=7.5-5$$

$$0.1y=2.5$$

$$y=25$$ кг

Скористаємося визначенням модуля і перетворимо функцію

$$y=4-|20x+7|=\left[\begin{matrix} 4-(20x+7), 20x+7\geqslant 0\\ \\ 4-(-20x-7), 20x+7< 0 \end{matrix}\right.=\left[\begin{matrix} -20x-3, x\geqslant -\frac{7}{20}\\ \\ 20x+11, x< -\frac{7}{20} \end{matrix}\right.$$

$$y=20x+11$$ зростаюча функція, а $$y=-20x-3$$ – спадаюча.

Отже, функція $$y=4-|20x+7|$$ зростає при $$x\in(-\infty;-\frac{7}{20})$$ і спадає при $$x\in[-\frac{7}{20};\infty)$$, а при $$x=-\frac{7}{20}=-0.35$$ набуває найбільшого значення (див. рисунок).

Графік функції $$y=4-|20x+7|$$

Відповідь: $$-0.35$$.

Скористаємося формулою переходу до нової основи й отримаємо

$$\log_{b}a=\frac{\log_{3}a}{\log_{3}b}=\frac{8}{5}=1.6$$

Відповідь: 1.6.

Перетворимо ліву частину. У першому підкореневому виразі винесемо спільний множник за дужки. Для другого використаємо формулу розкладання квадратного тричлена на множники, знайшовши його корені за теоремою Вієта.

$$\sqrt{x(x-5)}+\sqrt{(x-4)(x-5)}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{x-5}$$

ОДЗ:

$$\left\{\begin{matrix} x(x-5) & \geqslant & 0\\ (x-4)(x-5) & \geqslant & 0\\ x-5& \geqslant& 0\\ a& \geqslant & 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow x\geqslant5,\;a\geqslant0$$

Застосуємо властивість коренів (корінь добутку)

$$\sqrt{x}\cdot\sqrt{x-5}+\sqrt{x-4}\cdot\sqrt{x-5}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{x-5}$$

Винесемо спільний множник за дужки

$$\sqrt{x-5}\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{x-4}-\sqrt{a})=0$$

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із співмножників дорівнює нулю, отже

$$\sqrt{x-5}=0$$ или $$\sqrt{x}+\sqrt{x-4}-\sqrt{a}=0$$

$$x=5$$ или $$\sqrt{x}+\sqrt{x-4}=\sqrt{a}$$

$$x=5$$ є коренем рівняння і не залежить від параметра $$a$$

Розглянемо рівняння $$\sqrt{x}+\sqrt{x-4}=\sqrt{a}$$

Ліва і права частина рівняння невід’ємні ($$\sqrt{}$$ $$\geqslant 0$$). Зведемо у квадрат обидві частини рівняння

$$\left (\sqrt{x}+\sqrt{x-4} \right )^2=\left (\sqrt{a} \right )^2$$

Розкриємо дужки, використовуючи властивості коренів і формулу квадрата суми

$$x+x-4+2\sqrt{x(x-4)}=a$$

$$2\sqrt{x(x-4)}=a+4-2x$$

Ліва частина невід’ємна, отже, і права частина має бути невід’ємною. Отримали додаткову умову $$a+4-2x\geqslant 0\Rightarrow x\leqslant \frac{a+4}{2}$$

З урахуванням ОДЗ

$$5\leqslant x\leqslant \frac{a+4}{2}\Rightarrow \frac{a+4}{2}\geq 5\Rightarrow a\geq 6$$

Зведемо у квадрат обидві частини рівняння

$$\left (2\sqrt{x(x-4)} \right )^2=\left (a+4-2x \right )^2$$

$$4x(x-4)=(a+4)^2+4x^2-4x(a+4)$$

$$4x^2-16x=(a+4)^2+4x^2-16x-4ax$$

$$4ax=(a+4)^2$$

$$x=\frac{(a+4)^2}{4a}$$

Знайдемо найменше ціле значення параметра, за якого знайдений $$x$$ є коренем рівняння

$$\frac{(a+4)^2}{4a}\geqslant 5$$

$$\frac{(a+4)^2}{4a}-5\geqslant 0$$

$$\frac{(a+4)^2-20a}{4a}\geqslant 0$$

$$\frac{a^2+16+8a-20a}{4a}\geqslant 0$$

$$\frac{a^2-12a+16}{4a}\geqslant 0$$

$$a\geqslant 6\Rightarrow 4a>0\Rightarrow a^2-12a+16\geqslant 0$$

Розглянемо $$a^2-12a+16=0$$

Знайдемо корені (скористаємося формулою дискримінанта для парного коефіцієнта при першому ступені)

$$D_1=36-16=20=2^2\cdot5$$

$$a_{1,2}=6\pm2\sqrt{5}$$

$$\left [a-(6-2\sqrt{5}) \right ]\cdot\left [a-(6+2\sqrt{5}) \right ]\geqslant 0$$

$$a\geqslant 6\Rightarrow a-(6-2\sqrt{5}) >0\Rightarrow a-(6+2\sqrt{5})\geqslant 0\Rightarrow a\geqslant 6+2\sqrt{5}$$

$$6+2\sqrt{5} \approx 10.47$$

Отже, найменше ціле значення параметра $$a=11$$, за якого вихідне рівняння має два корені

$$x_1=5,\;x_2=\frac{(11+4)^2}{4\cdot11}=\frac{225}{44}=5\frac{5}{44}$$

Відповідь: $$a=11.$$