Завдання 25

Розв’яжіть рівняння $$\log_{6}(x-3)+\log_{6}(x-8)=2.$$ Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь; якщо воно має два корені, то у відповідь запишіть їх суму.

Рішення

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix} x-3>0\\ x-8>0 \end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow x>8$$

$$\log_{6}(x-3)(x-8)=\log_{6}36$$

$$(x-3)(x-8)=36$$

$$x^2-8x-3x+24-36=0$$

$$x^2-11x-12=0$$

За теоремою Вієта: $$x_{1}\cdot x_{2}=-12,x_{1}+x_{2}=11$$

$$x_{1}=-1<8$$ – не корінь, $$x_{2}=12>8$$ – корінь.

Відповідь: 12.

Завдання 26

У фермерському господарстві „Надія” кожен рік озимою пшеницею засівають 600 га полів. Середня врожайність цієї культури у 2007 році становила 24 центнери з одного гектара. Завдяки сприятливим погодним умовам у 2008 році озимої пшениці було зібрано на 19 200 центнерів більше, ніж у 2007.

Обчисліть середню врожайність озимої пшениці, вирощеної у господарстві „Надія” у 2008 році (у ц/га).

(Середня врожайність сільськогосподарської культури – це відношення маси зібраного врожаю цієї культури до загальної площі полів, на яких вона була вирощена.)

Рішення

Середня врожайність у 2007 році: $$\frac{m_{2007}}{600}=24$$

Обчислимо середню врожайність озимої пшениці у 2008 році, враховуючи той факт, що у 2008 році зібрали на 19 200 центнерів більше, ніж у 2007 році:

$$\frac{m_{2008}}{600}=\frac{m_{2007}+19200}{600}=\frac{m_{2007}}{600}+\frac{19200}{600}=24+32=56$$

Відповідь: 56.

Завдання 27

Знайдіть КІЛЬКІСТЬ усіх цілих розв’язків нерівності $$\frac{x^2-x-12}{(x+1)^2}\leqslant 0.$$ Якщо нерівність має безліч цілих розв’язків, то у відповідь запишіть число 100.

Рішення

ОДЗ: $$x\neq -1$$

$$\frac{x^2-x-12}{(x+1)^2}\leqslant 0$$ $$\sim$$ $$x^2-x-12\leqslant 0,$$ оскільки $$(x+1)^2>0$$ завжди (з урахуванням ОДЗ).

За теоремою Вієта: $$x_{1}\cdot x_{2}=-12,x_{1}+x_{2}=1$$

$$x_{1}=-3, x_{2}=4$$

$$(x+3)(x-4)\leqslant 0$$

Розв’язуємо методом інтервалів

$$x\in [-3;-1)\cup(-1;4]$$

Випишемо всі цілі розв’язки нерівності: -3; -2; 0; 1; 2; 3; 4

Таких розв’язків 7.

Відповідь: 7.

Завдання 28

Кімната має форму прямокутного паралелепіпеда (ширина кімнати – 4 м, довжина – 5 м, висота – 2.5 м). Площа стін кімнати дорівнює 0,8 площі бічної поверхні цього паралелепіпеда.

Скільки фарби (у кг) потрібно для того, щоб повністю пофарбувати СТІНИ й СТЕЛЮ цієї кімнати, якщо на 1 м2 витрачається 0.25 кг фарби?

Рішення

Площа бічної поверхні: $$4\cdot2.5+4\cdot2.5+5\cdot2.5+5\cdot2.5=45$$

Площа стін: $$45\cdot0.8=36$$

Площа стелі: $$4\cdot5=20$$

Загальна площа стін і стелі: $$36+20=56$$

Маса фарби: $$0.25\cdot56=14$$

Відповідь: 14.

Завдання 29

Розв’яжіть систему рівнянь $$\left\{\begin{matrix} 3^{x-2y}=\frac{1}{3}\\\\3^x+3^{2y}=4\sqrt{3} \end{matrix}\right..$$

Для одержаного розв’язку $$(x_{0};y_{0})$$ системи обчисліть ДОБУТОК $$x_{0}\cdot y_{0}.$$

Рішення

Перетворимо перше рівняння системи: $$\frac{3^x}{3^{2y}}=\frac{1}{3}\Rightarrow 3^x=\frac{3^{2y}}{3}$$

Підставимо в друге рівняння системи: $$\frac{3^{2y}}{3}+3^{2y}=4\sqrt{3}$$

$$3^{2y}(\frac{1}{3}+1)=4\sqrt{3}$$

$$3^{2y}\cdot\frac{4}{3}=4\sqrt{3}$$

$$3^{2y}=3\sqrt{3}\Rightarrow 3^x=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$$

$$3^{2y}=3^\frac{3}{2}\Rightarrow 2y=\frac{3}{2}\Rightarrow y_{0}=\frac{3}{4}$$

$$3^x=\sqrt{3}\Rightarrow 3^x=3^{\frac{1}{2}}\Rightarrow x_{0}=\frac{1}{2}$$

$$x_{0}\cdot y_{0}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}=0.375$$

Відповідь: $$0.375.$$

Завдання 30

Знайдіть найбільше значення функції $$y=\frac{1}{3\sin x+5}.$$ Якщо функція не має найбільшого значення, то у відповідь запишіть число 100.

Рішення

$$|\sin x|\leqslant 1\Rightarrow \frac{1}{8}\leqslant\frac{1}{3\sin x+5}\leqslant\frac{1}{2}$$

$$0.5$$ – найбільше значення функції $$y=\frac{1}{3\sin x+5}.$$

Відповідь: $$0.5.$$

Завдання 31

Радіус основи конуса R, твірна нахилена до площини основи під кутом α. Через вершину конуса проведено площину під кутом ϕ до його висоти. Ця площина перетинає основу конуса по хорді.

Знайдіть площу утвореного перерізу.

Рішення

З прямокутного трикутника $$\triangle SOA:$$ $$SO=AO\cdot \text{tg}\, \alpha=R\cdot\text{tg}\, \alpha$$

У трикутнику $$\triangle OBC$$ проведемо $$OD\perp BC.$$ Тоді за теоремою про три перпендикуляри $$SD\perp BC.$$

З прямокутного трикутника $$\triangle SOD:$$ $$OD=SO\cdot\text{tg}\, \varphi$$ та $$SD=\frac{SO}{\cos \varphi }.$$

З урахуванням співвідношення для $$SO,$$ отримаємо: $$OD=R\cdot\text{tg}\, \alpha\cdot\text{tg}\, \varphi$$ й $$SD=R\frac{\text{tg}\, \alpha}{\cos \varphi }.$$

У прямокутному трикутнику $$\triangle ODB$$ за теоремою Піфагора:

$$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{R^2-R^2\cdot \text{tg}^2\alpha\cdot \text{tg}^2\varphi}=R\sqrt{1-\text{tg}^2\alpha\cdot \text{tg}^2\varphi}$$

$$BC=2BD=2R\sqrt{1-\text{tg}^2\alpha\cdot \text{tg}^2\varphi}$$

Значить площа перерізу (площа трикутника $$\triangle SBC)$$ дорівнює:

$$S=\frac{1}{2}\cdot SD\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot R\frac{\text{tg}\, \alpha}{\cos \varphi }\cdot 2R\sqrt{1-\text{tg}^2\alpha\cdot\text{tg}^2\varphi}=\frac{R^2\text{tg}\, \alpha \sqrt{1-\text{tg}^2\alpha\cdot \text{tg}^2\varphi}}{\cos \varphi}$$

Відповідь: $$\frac{R^2\text{tg}\, \alpha \sqrt{1-\text{tg}^2\alpha\cdot \text{tg}^2\varphi}}{\cos \varphi}.$$

Завдання 32

Задано функції $$f(x)=x^2+1$$ і $$g(x)=7-x.$$

  1. Знайдіть абсциси точок перетину графіків функцій $$f(x)$$ і $$g(x).$$ У прямокутній системі координат зобразіть фігуру, обмежену цими графіками.
  2. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функцій $$f(x)$$ і $$g(x).$$

Рішення

1. $$x^2+1=7-x\Rightarrow x^2+x-6=0$$

За теоремою Вієта: $$x_{1}+x_{2}=-1, x_{1}\cdot x_{2}=-6\Rightarrow x_{1}=-3, x_{2}=2$$

Побудуємо фігуру, обмежену графіками функцій $$f(x)$$ та $$g(x):$$

2. Знайдемо площу, обчисливши визначений інтеграл:

$$S=\int\limits_{-3}^{2}\left [(7-x)-(x^2+1) \right ]dx=-\int\limits_{-3}^{2}(x^2+x-6)dx=\left ( \frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-6x \right )|_{-3}^{2}=$$

$$=-\left ( \frac{8}{3}+ \frac{27}{3}+\frac{4}{2}-\frac{9}{2}-12-18\right )=30-\frac{35}{3}+\frac{5}{2}=\frac{180-70+15}{6}=$$

$$=\frac{125}{6}=20\frac{5}{6}$$

Відповідь:

  1. $$-3;2.$$
  2. $$20\frac{5}{6}$$ (кв. од.)

Завдання 33

Розв’яжіть нерівність $$2\cdot\sqrt{x^2-6x+9}-\sqrt{(x-1)^2+4x}\leqslant x.$$

Рішення

$$2\cdot\sqrt{(x-3)^2}-\sqrt{(x+1)^2}\leqslant x$$

$$2\cdot|x-3|-|x+1|\leqslant x$$

Розкриємо модулі:

I. $$x\in(-\infty;-1)$$

$$2(-x+3)-(-x-1)\leqslant x$$

$$-2x+6+x+1-x\leqslant 0$$

$$-2x\leqslant -7$$

$$x\geqslant \frac{7}{2}$$ – помилково.

II. $$x\in [-1;3)$$

$$2(-x+3) – (x+1)\leqslant x$$

$$-4x\leqslant -5$$

$$x\geqslant 1.25$$

$$x\in [1.25;3)$$

III. $$x\in [3;\infty)$$

$$2(x-3) – (x+1)\leqslant x$$

$$-7\leqslant 0$$ – вірно для всіх $$x\in [3;\infty)$$

З урахуванням I, II та III отримаємо: $$x\in[1.25;3)\cup[3;\infty)=[1.25;\infty)$$

Відповідь: $$[1.25;\infty)$$