Кілька основних способів вирішення рівнянь з модулем

Розглянемо основні способи розв’язування рівнянь з модулем на прикладах.

За визначенням модуля

$$|2-x|=2x-10$$

Визначення модуля: $$|a|=\left[\begin{matrix} a,& a\geqslant 0\\ -a,& a < 0 \end{matrix}\right.$$

$$\left[\begin{matrix} 2-x=2x-10 ,& 2-x\geqslant 0\\ x-2=2x-10, & 2-x < 0 \end{matrix}\right.$$

$$\left[\begin{matrix} x=4 ,& x\leqslant 2\\ x=8, & x>2 \end{matrix}\right.$$

Очевидно, що $$x=4$$ – сторонній корінь, бо $$4>2$$ і не задовольняє $$x\leqslant 2.$$

Таким чином, рішенням вихідного рівняння буде $$x=8$$

Відповідь: 8.

Зведення у квадрат

$$|2-x|=2x-10$$

Зведемо до квадрата обидві частини рівняння

$$|2-x|^2=(2x-10)^2$$

$$(2-x)^2=(2x-10)^2$$

$$4+x^2-4x=4x^2+100-40x$$

$$3x^2-36x+96=0$$

$$x^2-12x+32=0$$

Отримали квадратне рівняння, яке можна вирішити будь-яким з відомих нам способів.

$$x_1=4, x_2=8$$

Через те, що при зведенні у квадрат ми могли отримати сторонні корені, то необхідно виконати перевірку знайдених коренів, їх підставленням в початкове рівняння.

Перевіркою переконуємося, що $$x=4$$ – сторонній корінь.

Відповідь: 8.

Метод інтервалів

Даний метод полягає в наступному:

1) визначаються нулі кожного з модулів, що входить в рівняння (прирівнюємо нулю вирази під модулем)

2) На числовій прямій відзначаються знайдені значення, розбиваючи при цьому пряму на проміжки

3) Вирішують рівняння на кожному з проміжків

$$|2-x|=2x-10$$

$$2-x=0$$

$$x=2$$

Число 2 розбиває числову пряму на два проміжки $$(-\infty;2]\cup(2;+\infty)$$

I. Розглянемо рішення при $$x\in(-\infty;2]$$

$$|2-x|=2-x$$

$$2-x=2x-10$$

$$x=4\notin(-\infty;2]$$ – сторонній корінь

II. Розглянемо рішення при $$x\in(2;+\infty)$$

$$|2-x|=x-2$$

$$x-2=2x-10$$

$$x=8\in(2;+\infty)$$ – корінь рівняння

Відповідь: 8.

При розв’язанні рівнянь рекомендуємо враховувати властивості функцій і виділяти додаткові умови

$$|2-x|=2x-10$$

Через те, що модуль є невід’ємною величиною, то і права частина рівняння має бути невід’ємною, тобто $$2x-10\geqslant 0.$$

Значить додатковою умовою буде $$x\geqslant 5.$$

При таких значеннях $$x$$ вираз під модулем приймає від’ємне значення і модуль розкриється з протилежним знаком.

$$x-2=2x-10$$

$$x=8>5$$ (задовольняє додатковій умові) – корінь

Відповідь: 8.

Графічний спосіб розв’язування

Графічний спосіб полягає в наступному:

1) Ліва і права частини рівняння – дві функції від змінної $$x.$$

2) Будуються графіки кожної з функцій

3) Точки перетину графіків функцій є шуканим рішенням

$$|2-x|=2x-10$$

$$y=|2-x|=\left[\begin{matrix} 2-x ,& x\leqslant 2\\ x-2, & x>2 \end{matrix}\right.,$$ $$y=2x-10$$

Точкою перетину графіків даних функцій буде точка $$(8;6),$$ тобто $$x=8$$

Відповідь: 8.

Графічний спосіб доречний, коли необхідно визначити кількість коренів, не знаходячи їх точних значень. Також даний метод досить часто застосовується при рішенні параметричних рівнянь.