Завдання 13
Укажіть, скільки можна скласти різних правильних дробів, чисельниками й знаменниками яких є числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
| А | Б | В | Г | Д |
| 28 | 56 | 70 | 112 | інша відповідь |
Рішення
Правильним називається той дріб, у якого модуль чисельника менший за модуль знаменника.
Якщо в чисельнику буде число 2, то в знаменнику можуть бути числа: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – 7 правильних дробів.
Для числа 3 – 6 правильних дробів (у знаменниках: 4, 5, 6, 7, 8, 9), тобто на 1 дріб менше.
Аналогічно для числа 4 – 5, для 5 – 4, для 6 – 3, для 7 – 2 та для 8 – 1 правильний дріб.
Отримали арифметичну прогресію ($$a_{1}=7, a_{7}=1, n=7$$). Знайдемо суму семи перших членів цієї прогресії:
$$7+6+5+4+3+2+1=\frac{7+1}{2}\cdot 7=28$$
Відповідь: А.
Завдання 14
Розв’яжіть нерівність $$\log_{0.5}{5}<\log_{0.5}{x}$$
| А | Б | В | Г | Д |
| $$(-5;0)$$ | $$(0;5)$$ | $$(5;\infty)$$ | $$(0.5;5)$$ | $$(-\infty;5)$$ |
Рішення
ОДЗ: $$x>0$$
$$\log_{0.5}x$$ – спадна функція, тому що основа логарифма $$0<0.5<1$$ $$\log_{0.5}5<\log_{0.5}x\Rightarrow 5>x$$
З урахуванням ОДЗ отримали: $$0<x<5$$
Відповідь: Б.
Завдання 15
Укажіть корінь рівняння $$|x^2-6x|=9$$, який належить проміжку $$(-2;1]$$
| А | Б | В | Г | Д |
| $$3-3\sqrt{2}$$ | $$3-\sqrt{2}$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$4-2\sqrt{2}$$ |
Рішення
Перетворимо модуль: $$|x^2-6x|=|x\cdot(x-6)|=|x|\cdot|x-6|$$, тоді рівняння перепишемо в такому вигляді: $$|x|\cdot|x-6|=9$$
Знайдемо значення змінної, де зануляється кожен із модулів: $$x=0, x=6$$.
Числова вісь розбивається на три проміжки: $$x<0, 0\leqslant x<6, x\geqslant 6$$ Враховуючи умову, розкриємо модулі на двох проміжках: при $$x \in (-2;0)$$ та $$x \in [0;1]$$ I. $$x \in (-2;0)$$
$$|x|\cdot|x-6|=9\Rightarrow -x\cdot(-x+6)=9\Rightarrow x^2-6x-9=0$$
Скористаємося формулою дискримінанта для парного $$b=2k$$
$$D_{1}=k^2-ac, a=1, k=-3, c=-9\Rightarrow D_{1}=9+9=18, \sqrt{D_{1}}=3\sqrt{2}$$
$$x_{1,2}=\frac{-k\pm \sqrt{D_{1}}}{a}$$
$$x_{1}=\frac{3+ 3\sqrt{2}}{1}=3+3\sqrt{2}\notin (-2;0)$$ – не корінь.
$$x_{2}=3-3\sqrt{2}\in (-2;0)$$ – корінь.
II. $$x \in [0;1]$$
$$|x|\cdot|x-6|=9\Rightarrow x\cdot(-x+6)=9\Rightarrow$$
$$\Rightarrow -x^2+6x-9=0\Rightarrow x^2-6x+9=0\Rightarrow (x-3)^2=0\Rightarrow x=3\notin[0;1]$$ – не корінь.
Відповідь: А.
Завдання 16
Розв’яжіть рівняння: $$3^x=\frac{2\sqrt{3}}{6}$$
| А | Б | В | Г | Д |
| рівняння не має коренів | $$x=-1$$ | $$x=-0.5$$ | $$x=0.5$$ | $$x=1$$ |
Рішення
$$3^x=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow 3^x=3^{-\frac{1}{2}}\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$$
Відповідь: В.
Завдання 17
Укажіть область значень функції $$y=\sqrt{x^2+9}-6$$
| А | Б | В | Г | Д |
| $$[9;\infty)$$ | $$[0;\infty)$$ | $$[3;\infty)$$ | $$[-3;\infty)$$ | $$(-\infty;\infty)$$ |
Рішення
$$x^2\geqslant 0\Rightarrow \sqrt{x^2+9}\geqslant 3\Rightarrow \sqrt{x^2+9}-6\geqslant-3$$
Відповідь: Г.
Завдання 18
На рисунку зображено графіки функцій $$g(x)=\sqrt{4-x}$$ і $$f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{x+8}$$. Укажіть проміжок, на якому виконується нерівність $$f(x)\leqslant g(x)$$.
| А | Б | В | Г | Д |
| $$(-\infty;0]$$ | $$[-8;\infty)$$ | $$[0;\infty)$$ | $$[0;4]$$ | $$[-8;0]$$ |
Рішення
$$D(f): x\in [-8;\infty)$$
$$D(g): x\in (-\infty;4]$$
Розв’язком нерівності буде той проміжок, де графік функції $$g(x)$$ вище графіка функції $$f(x)$$, т.е. $$[-8;0]$$
Відповідь: Д.