Основні властивості та правила інтегрування

Основні властивості та правила

Похідна від невизначеного інтеграла є підінтегральна функція

$$\left ( \int f(x)\,dx \right )^{\prime}=f(x)$$

Невизначений інтеграл від похідної підінтегральної функції $$f^{\prime}(x)$$ є сума підінтегральної функції $$f(x)$$ та деякої довільної постійної

$$\int f^{\prime}(x)\,dx=f(x)+c,\;c=\text{const}$$

Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми функцій є алгебраїчна сума невизначених інтегралів від цих функцій

$$\int\left [ f(x)\pm g(x) \right ] \,dx=\int f(x)\,dx\pm \int g(x)\,dx$$

Константа виноситься за знак невизначеного інтеграла

$$\int af(x)\,dx=a\int f(x)\,dx,\;a=\text{const}$$

Метод підстановки

$$\int f(t)\,dt=\int f\left [\phi(x) \right ]\phi'(x)\,dx,\;t=\phi(x)$$

Інтегрування частинами

$$\int u(x)\,dv(x)=\int u(x)v'(x)\,dx=$$

$$=u(x)v(x)-\int v(x)\,du(x)=$$

$$=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)\,dx$$