Прості та складені числа. Ознаки подільності

Прості та складені числа

Натуральне число $$p$$, відмінне від 1, називається простим, якщо воно має лише два дільники: 1 і $$p$$.

Натуральне число $$q$$, відмінне від 1, називається складеним, якщо воно крім 1 і $$q$$ має ще хоча б один дільник.

Теорема: Кожне, відмінне від одиниці, натуральне число розкладається на прості множники та це розкладання єдине.

Таблиця простих чисел (до 200)

23571113171923
293137414347535961
67717379838997101103
107109113127131137139149151
157163173179181191193197199

Число називається парним, якщо воно ділиться націло на 2. Число називається непарним, якщо воно не ділиться націло на 2.

Ознаки подільності

Натуральне число $$n=a_{k}a_{k-1}\ldots a_{1}a_{0}=a_{k}\cdot10^k+a_{k-1}\cdot10^{k-1}+\cdots +a_{1}\cdot10+a_{0}$$ ділиться…

на 2 (на 5) тоді й тільки тоді, коли його остання цифра $$(a_0)$$ ділиться на 2 (на 5) або дорівнює нулю

на 3 (на 9) тоді й лише тоді, коли сума всіх цифр цього числа ділиться на 3 (на 9)

на 4 тоді й тільки тоді, коли число, яке представляє дві останні цифри $$(a_{1}\cdot10+a_{0})$$ ділиться на 4 або останні дві цифри нулі

на 6 тоді й тільки тоді, коли воно ділиться на 2 та на 3

на 7 тоді й тільки тоді, коли результат віднімання подвійної останньої цифри з цього числа без останньої цифри $$(a_{k}a_{k-1}\ldots a_{1}-2a_{0})$$ ділиться на 7

на 8 тоді й тільки тоді, коли три його останні цифри $$(a_{2}a_{1}a_{0})$$ – нулі або утворюють число $$(a_{2}\ cdot10^2+a_{1}\cdot10+a_{0}),$$ яке ділиться на 8

на 10 тоді й тільки тоді, коли воно закінчується на нуль

на 11 тоді й тільки тоді, коли сума цифр на непарних місцях або дорівнює сумі цифр на парних місцях, або відрізняється від неї на число, що ділиться на 11

на 12 тоді й тільки тоді, коли воно ділиться на 3 та на 4

на 13 тоді й лише тоді, коли це число без останньої цифри $$(a_{k}a_{k-1}…a_{1}),$$ складене із помноженою на 4 останньою цифрою $$(4a_{0}),$$ кратне 13, тобто $$a_{k}a_{k-1}…a_{1}+4a_{0}$$ ділиться на 13

на 14 тоді й тільки тоді, коли воно ділиться на 2 та на 7

на 15 тоді й лише тоді, коли воно ділиться на 3 та на 5

на 17 тоді й тільки тоді, коли результат віднімання помноженої на 5 останньої цифри з цього числа без останньої цифри $$(a_{k}a_{k-1}\ldots a_{1}-5a_{ 0})$$ ділиться на 17

на 19 тоді й лише тоді, коли це число без останньої цифри $$(a_{k}a_{k-1}…a_{1}),$$ складене з подвоєною останньою цифрою $$(2a_{0}),$$ кратне 19, тобто $$a_{k}a_{k-1}…a_{1}+2a_{0}$$ ділиться на 19

на n-ту ступінь двійки $$(2^n)$$ тоді й лише тоді, коли число, утворене його останніми n цифрами, ділиться на той самий ступінь

на n-ту ступінь п’ятірки $$(5^n)$$ тоді і лише тоді, коли число, утворене його останніми n цифрами, ділиться на той самий ступінь