Означення

Арифметика [давньогрецьке ἀριθμητική від ἀριθμός (аритмос чи арифмос) — число] — розділ математики, що вивчає числа, їх найпростіші відносини та властивості. Основними операціями в арифметиці є додавання, множення, віднімання, розподіл, зведення у ступінь та вилучення кореня.

Середнє арифметичне та середнє геометричне чисел

Середнє арифметичне чисел

$$\frac{a_1+\ldots+a_n}{n}$$

Середнє геометричне чисел

$$\sqrt[n]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots\cdot a_{n}}, a_{i}\geqslant 0, i=\overline{1,n}$$

Відсотки

Знаходження відсотка від числа $$a$$

$$a=100\%, x=p\%\Rightarrow x=\frac{ap}{100}$$

Знаходження числа за його відсотком

Нехай $$p\%$$ деякого числа $$y$$ рівні числу $$a,$$ тоді

$$a=p\%, y=100\%\Rightarrow y=\frac{a\cdot100}{p}$$

Знаходження відсоткового відношення двох чисел $$a$$ та $$b$$

$$\frac{a}{b}100\%$$

Формула простого відсотка

Якщо банк виплачує клієнту щомісячно $$p\%$$ від внесеної суми $$A_0,$$ то на рахунку клієнта через $$n$$ місяців буде сума:

$$A_n=A_0\cdot\left (1+\frac{p\cdot n}{100} \right )$$

Формула складного відсотка

Якщо клієнт поклав у банк суму $$A_0$$ під $$p\%$$ річних, то через $$n$$ років накопичений капітал складе:

$$A_n=A_0\cdot\left (1+\frac{p}{100} \right )^n$$

Нескінченний періодичний десятковий дріб

Будь-яке раціональне число представимо у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу (можливо з нульовим періодом). Справедливе та зворотне твердження.

$$\frac{p}{q}=\pm \;a,\alpha_{1}\ldots\alpha_{n}(\beta_{1}\ldots\beta_{m})$$

$$\pm \;a,\alpha_{1}\ldots\alpha_{n}(\beta_{1}\ldots\beta_{m})=\pm \;a\pm 0,\alpha_{1}\ldots\alpha_{n}(\beta_{1}\ldots\beta_{m})=$$

$$=\pm \;a\pm \frac{\overline{\alpha_{1}\ldots\alpha_{n}\beta_{1}\ldots\beta_{m}}-\overline{\alpha_{1}\ldots\alpha_{n}}}{\underbrace{9\ldots9}_{\text{m}} \space \underbrace{0\ldots0}_{\text{n}}}$$